Comment classer un point… : En étudiant directement le signe de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

Classer un point critique quand le critère spectral ne tranche pas (valeur propre nulle), en étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^4$ .

L'objectif

Classer un point critique quand le critère spectral ne tranche pas (valeur propre nulle), en étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ .

Le principe

Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ contient $0$ , le critère spectral n'est pas concluant : il faut reprendre $f(x_0+h) - f(x_0)$ et étudier son signe à la main, en particulier en évaluant le long de courbes où la partie quadratique s'annule.

La méthode

1
Je vérifie que $x_0$ est critique et je calcule $\nabla^2 f(x_0)$ . Si $0 \in \mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ , j'identifie le cas limite.
2
Je choisis des directions $h$ particulières (souvent vecteurs propres) et j'évalue $f(x_0 + t h) - f(x_0)$ en fonction de $t$ pour détecter un signe ou un changement de signe.
3
Je compare les limites : si je trouve deux directions où $f(x_0+h) - f(x_0)$ a des signes opposés (aussi près qu'on veut de $x_0$ ), je conclus à un point selle ; sinon, je raffine avec un DL d'ordre supérieur.
4
Je formule la conclusion : minimum local, maximum local, point selle, ou absence d'extremum local.
Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^4$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

x_0

est critique et je calcule

\nabla^2 f(x_0)

. Si

0 \in \mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))

, j'identifie le cas limite.

$\nabla f(x,y) = (2x, 4 y^3)$ s'annule en $(0,0)$ . $\nabla^2 f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ : valeur propre $0$ , cas limite.

Étape 2 —

Je choisis des directions

h

particulières (souvent vecteurs propres) et j'évalue

f(x_0 + t h) - f(x_0)

en fonction de

t

pour détecter un signe ou un changement de signe.

On évalue à la main : $f(h_1, h_2) - f(0,0) = h_1^2 + h_2^4 \geq 0$ pour tout $(h_1,h_2)$ , avec égalité seulement en $(0,0)$ .

Étape 3 —

Je compare les limites : si je trouve deux directions où

f(x_0+h) - f(x_0)

a des signes opposés (aussi près qu'on veut de

x_0

), je conclus à un point selle ; sinon, je raffine avec un DL d'ordre supérieur.

Pas de direction où $f$ diminue : le signe est uniformément positif en dehors de $(0,0)$ .

Étape 4 —

Je formule la conclusion : minimum local, maximum local, point selle, ou absence d'extremum local.

Donc $(0,0)$ est un minimum local (et même global) strict de $f$ .

$(0,0)$ est un minimum local strict de $f$ .

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Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En étudiant directement le signe de f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h) - f(x_0)f(x0​+h)−f(x0​) via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites