Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En reconnaissant une fonction polynomiale, admise de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$

Justifier la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction polynomiale sur $\mathbb{R}^n$ en invoquant le résultat admis du cours.

En invoquant les opérations préservant $\mathcal{C}^2$ (somme, produit, quotient à dénominateur non nul)

Justifier la régularité $\mathcal{C}^2$ par décomposition en opérations de fonctions déjà $\mathcal{C}^2$.

En utilisant la composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$

Justifier la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une composée $\varphi \circ u$ où $u$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et $\varphi$ $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle contenant l'image de $u$.