Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En calculant $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ et en appliquant le critère spectral

Classer un point critique en étudiant le spectre de la hessienne : positif $\Rightarrow$ minimum local, négatif $\Rightarrow$ maximum local, signes opposés $\Rightarrow$ point selle.

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

Lorsque le spectre de la hessienne contient une valeur propre nulle (cas limite), conclure à la main sur le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ au voisinage de $x_0$.