Comment justifier qu'une… : En utilisant la composition C^2 circ C^2 — ECG2 approfondies | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En utilisant la composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$

Établir la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction qui s'écrit sous la forme $\varphi(u(x_1,\dots,x_n))$ avec $\varphi$ d'une variable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Établir la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction qui s'écrit sous la forme $\varphi(u(x_1,\dots,x_n))$ avec $\varphi$ d'une variable.

Le principe

Le B.O. admet que la composée d'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ à valeurs dans un intervalle $I\subset \mathbb{R}$ , avec une fonction $\mathcal{C}^2$ sur $I$ , est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

La méthode

1
J'écris $f = \varphi \circ u$ , en identifiant $u : \Omega \to I \subset \mathbb{R}$ (fonction de $n$ variables) et $\varphi : I \to \mathbb{R}$ (fonction d'une variable).
2
Je justifie que $u$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ (par exemple polynomiale) et que $\varphi$ est $\mathcal{C}^2$ sur $I$ (exp, ln sur $]0,+\infty[$ , $t \mapsto t^\alpha$ …).
3
J'invoque le théorème admis de composition : $f = \varphi \circ u$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

J'écris

f = \varphi \circ u

, en identifiant

u : \Omega \to I \subset \mathbb{R}

(fonction de

n

variables) et

\varphi : I \to \mathbb{R}

(fonction d'une variable).

Je pose $u(x,y) = x^2 + y^2$ et $\varphi(t) = e^t$ ; ainsi $f = \varphi \circ u$ .

Étape 2 —

Je justifie que

u

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

(par exemple polynomiale) et que

\varphi

est

\mathcal{C}^2

sur

I

(exp, ln sur

]0,+\infty[

t \mapsto t^\alpha

…).

$u$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ , à valeurs dans $I = [0,+\infty[ \subset \mathbb{R}$ ; $\varphi = \exp$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

J'invoque le théorème admis de composition :

f = \varphi \circ u

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

Par composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$ , $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment justifier qu'une fonction est de classe C2\mathcal{C}^2C2 sur un ouvert de Rn\mathbb{R}^nRn ?

En utilisant la composition C2∘C2\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2C2∘C2

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En utilisant la composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$