L'objectif

Identifier les points candidats à un extremum sous contrainte en imposant l'appartenance de $\nabla f$ à $\mathrm{Vect}(\nabla g_i)$ .

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et si $x_0 \in \mathcal{C}$ est un extremum local de $f$ sous la contrainte, alors $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ : c'est la condition nécessaire du premier ordre sous contrainte.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert contenant $\mathcal{C}$ et les contraintes $g_i$ sont linéaires.
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule $\nabla f(x)$ en un point générique $x = (x_1,\dots,x_n)$ et je rappelle les gradients $\nabla g_1,\dots,\nabla g_p$ (constants).
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
3
J'écris la condition $\nabla f(x) = \lambda_1 \nabla g_1 + \dots + \lambda_p \nabla g_p$ pour des scalaires $\lambda_i$ à déterminer, ce qui fournit un système à $n$ équations.
4
Je couple ce système aux $p$ contraintes $g_i(x) = b_i$ et je résous le système global pour obtenir les points critiques sous contrainte.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir

Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En écrivant $\nabla f(x_0)$ comme combinaison linéaire des $\nabla g_i$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la condition nécessaire ∇f(x0)∈Vect(∇g1,…,∇gp)\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)∇f(x0​)∈Vect(∇g1​,…,∇gp​) pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En écrivant ∇f(x0)\nabla f(x_0)∇f(x0​) comme combinaison linéaire des ∇gi\nabla g_i∇gi​

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En écrivant $\nabla f(x_0)$ comme combinaison linéaire des $\nabla g_i$