Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

Établir qu'une fonction $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ , soit en exhibant des dérivées partielles continues, soit en invoquant les opérations stables pour la classe $\mathcal{C}^1$ .

Choisissez une approche :

En vérifiant que les dérivées partielles $\partial_i f$ existent toutes et sont continues sur $\mathbb{R}^n$
Revenir à la caractérisation du B.O. : $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ si et seulement si ses $n$ dérivées partielles existent et sont continues.
En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sont de classe $\mathcal{C}^1$
Éviter un calcul explicite des $\partial_i f$ en reconnaissant $f$ comme obtenue par des opérations stables pour la classe $\mathcal{C}^1$ à partir de fonctions usuelles de référence.

Comment justifier qu'une fonction est de classe C1\mathcal{C}^1C1 sur Rn\mathbb{R}^nRn ?

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?