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Comment justifier qu'une fonction est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n ?

En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe C1\mathcal{C}^1 sont de classe C1\mathcal{C}^1

L'objectif

Prouver rapidement qu'une fonction f ⁣:Rn→Rf \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} est de classe C1\mathcal{C}^1 en invoquant les théorèmes d'opérations du B.O.

Le principe

Les fonctions polynomiales de nn variables sont de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n ; les projections πi ⁣:x↦xi\pi_i \colon x \mapsto x_i sont C1\mathcal{C}^1 ; la somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) et la composée φ∘u\varphi \circ u avec u∈C1(Rn)u \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n) et φ∈C1\varphi \in \mathcal{C}^1 sur un intervalle contenant u(Rn)u(\mathbb{R}^n) sont de classe C1\mathcal{C}^1.

La méthode
  1. 1
    J'identifie les briques élémentaires : projections πi\pi_i, fonctions polynomiales, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, racine, etc., toutes de classe C1\mathcal{C}^1 sur leur domaine.
  2. 2
    Je décris ff comme combinaison de ces briques par somme, produit, quotient ou composée, en précisant à chaque étape le cadre (domaine, non-annulation du dénominateur).
  3. 3
    J'invoque les théorèmes d'opérations sur les fonctions C1\mathcal{C}^1 pour conclure que ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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