L'objectif

Caractériser les points critiques sous contrainte par l'orthogonalité de $\nabla f$ à une base de $H$ .

Le principe

$\mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p) = H^\perp$ , donc $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_i) \iff \nabla f(x_0) \perp H$ , équivalent à $\langle \nabla f(x_0), v_j \rangle = 0$ pour tout $v_j$ d'une base $(v_1,\dots,v_{n-p})$ de $H$ .

La méthode

1
Je détermine une base $(v_1,\dots,v_{n-p})$ de l'espace $H$ des directions.
2
Je calcule $\nabla f(x)$ en un point générique $x$ .
3
J'écris les équations $\langle \nabla f(x), v_j \rangle = 0$ pour $j = 1,\dots, n-p$ , qui fournissent $n-p$ équations supplémentaires.
4
Je couple ces équations aux $p$ contraintes $g_i(x) = b_i$ et je résous le système pour déterminer les points critiques sous contrainte.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir

Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En traduisant $\nabla f(x_0) \perp H$ via $\langle \nabla f(x_0), h \rangle = 0$ pour tout $h$ d'une base de $H$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la condition nécessaire ∇f(x0)∈Vect(∇g1,…,∇gp)\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)∇f(x0​)∈Vect(∇g1​,…,∇gp​) pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En traduisant ∇f(x0)⊥H\nabla f(x_0) \perp H∇f(x0​)⊥H via ⟨∇f(x0),h⟩=0\langle \nabla f(x_0), h \rangle = 0⟨∇f(x0​),h⟩=0 pour tout hhh d'une base de HHH

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?

En traduisant $\nabla f(x_0) \perp H$ via $\langle \nabla f(x_0), h \rangle = 0$ pour tout $h$ d'une base de $H$