ECG 2ème année Maths Approfondies

Optimisation sous contraintes linéaires

Recherche d'extrema d'une fonction de classe

\mathcal{C}^1

sur un ensemble défini par des contraintes d'égalités linéaires, via la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

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0/11 maîtrisées

Maîtriser

En posant

\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1, \dots, g_p(x) = b_p\}

avec

g_i

linéaires

Nouveau

En remarquant que

\mathcal{C} = x^* + H

avec

x^*

solution particulière et

H

espace des solutions homogènes

Nouveau

En résolvant le système homogène pour obtenir une description paramétrique puis une base de

H

Nouveau

En écrivant

H = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perp

Nouveau

Comment calculer les gradients

\nabla g_i(x_0)

des fonctions définissant les contraintes ?

Nouveau

En écrivant

\nabla f(x_0)

comme combinaison linéaire des

\nabla g_i

Nouveau

En traduisant

\nabla f(x_0) \perp H

via

\langle \nabla f(x_0), h \rangle = 0

pour tout

h

d'une base de

H

Nouveau

Comment introduire les multiplicateurs de Lagrange

\lambda_1,\dots,\lambda_p

et résoudre le système

\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i

Nouveau

En trouvant les points critiques par Lagrange puis en vérifiant que

\mathcal{C}

est fermé borné

Nouveau

En paramétrant

\mathcal{C}

par une base de

H

pour se ramener à un problème libre

Nouveau

En comparant directement

f(x) - f(x_0)

via une inégalité (Cauchy-Schwarz, convexité)

Nouveau

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.

Résoudre

Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.