L'objectif

Déterminer rapidement les gradients des contraintes sans calculer de dérivées partielles par la définition.

Le principe

Pour $g_i \colon x \mapsto \alpha_{i,1} x_1 + \dots + \alpha_{i,n} x_n$ , chaque dérivée partielle vaut $\partial_k g_i(x) = \alpha_{i,k}$ , donc $\nabla g_i(x) = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})$ est constant en $x$ .

La méthode

1
Je mets chaque contrainte sous la forme standard $g_i(x) = \alpha_{i,1} x_1 + \dots + \alpha_{i,n} x_n$ en identifiant les coefficients $\alpha_{i,k}$ .
2
Je vérifie que $g_i$ est bien une forme linéaire (les seconds membres $b_i$ ne font pas partie du gradient, ils ne contribuent pas à la dérivée).
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
3
Je lis directement $\nabla g_i = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})$ en recopiant les coefficients, le vecteur obtenu étant le même en tout point $x_0 \in \mathbb{R}^n$ .

Comment calculer les gradients $\nabla g_i(x_0)$ des fonctions définissant les contraintes ?

En dérivant $g_i(x) = \sum_k \alpha_{i,k} x_k$ pour lire $\nabla g_i = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les gradients ∇gi(x0)\nabla g_i(x_0)∇gi​(x0​) des fonctions définissant les contraintes ?

En dérivant gi(x)=∑kαi,kxkg_i(x) = \sum_k \alpha_{i,k} x_kgi​(x)=∑k​αi,k​xk​ pour lire ∇gi=(αi,1,…,αi,n)\nabla g_i = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})∇gi​=(αi,1​,…,αi,n​)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les gradients $\nabla g_i(x_0)$ des fonctions définissant les contraintes ?

En dérivant $g_i(x) = \sum_k \alpha_{i,k} x_k$ pour lire $\nabla g_i = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})$