L'objectif

Exprimer $H$ comme orthogonal pour exploiter les liens entre contraintes linéaires et gradients via le produit scalaire canonique.

Le principe

Pour $g_i$ forme linéaire de gradient $\nabla g_i$ , on a $g_i(h) = \langle \nabla g_i, h \rangle$ (produit scalaire canonique), donc $H = \bigcap_i \ker(g_i) = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perp$ .

La méthode

1
Je calcule les gradients $\nabla g_i$ de chaque contrainte : ce sont les vecteurs des coefficients de $g_i$ .
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
2
Je forme le sous-espace $G = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ et je détermine sa dimension en vérifiant l'indépendance des $\nabla g_i$ .
3
Je justifie l'équivalence $h \in H \iff \forall i,\ \langle \nabla g_i, h \rangle = 0 \iff h \in G^\perp$ , donc $H = G^\perp$ .
4
Je conclus que $\dim H = n - \dim G$ et j'obtiens une base de $H$ en utilisant la dimension de $G^\perp$ .

Comment identifier l'espace vectoriel $H$ des solutions du système homogène associé ?

En écrivant $H = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perp$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment identifier l'espace vectoriel HHH des solutions du système homogène associé ?

En écrivant H=Vect(∇g1,…,∇gp)⊥H = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perpH=Vect(∇g1​,…,∇gp​)⊥

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment identifier l'espace vectoriel $H$ des solutions du système homogène associé ?

En écrivant $H = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perp$