L'objectif

Formaliser la recherche des points critiques sous contrainte via un système d'inconnues $(x, \lambda)$ complet.

Le principe

La condition $\nabla f(x_0) = \sum_{i=1}^p \lambda_i \nabla g_i$ fournit $n$ équations scalaires ; ajoutée aux $p$ contraintes $g_i(x_0) = b_i$ , elle forme un système de $n + p$ équations aux $n + p$ inconnues $(x_1,\dots,x_n,\lambda_1,\dots,\lambda_p)$ .

La méthode

1
Je pose les $p$ multiplicateurs $\lambda_1,\dots,\lambda_p \in \mathbb{R}$ et j'écris les $n$ équations scalaires $\partial_k f(x) = \sum_i \lambda_i \partial_k g_i$ pour $k = 1,\dots,n$ .
2
J'ajoute les $p$ équations de contraintes $g_i(x) = b_i$ pour obtenir un système de $n + p$ équations à $n + p$ inconnues.
3
Je résous par élimination : j'exprime souvent les $\lambda_i$ à partir des équations de gradients, puis je substitue dans les contraintes.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
4
Je liste les couples $(x, \lambda)$ solutions ; les $x$ obtenus sont les points critiques sous contrainte, les $\lambda_i$ associés sont les multiplicateurs de Lagrange.
Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?Voir

Comment introduire les multiplicateurs de Lagrange $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ et résoudre le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ ?

En posant le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ couplé aux $p$ contraintes

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment introduire les multiplicateurs de Lagrange λ1,…,λp\lambda_1,\dots,\lambda_pλ1​,…,λp​ et résoudre le système ∇f=∑λi∇gi\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i∇f=∑λi​∇gi​ ?

En posant le système ∇f=∑λi∇gi\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i∇f=∑λi​∇gi​ couplé aux ppp contraintes

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment introduire les multiplicateurs de Lagrange $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ et résoudre le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ ?

En posant le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ couplé aux $p$ contraintes