Comment montrer que deux… : En passant par une base adaptée de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En passant par une base adaptée de vecteurs propres

Établir la similitude de $A$ avec une matrice diagonale via la diagonalisation explicite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à une matrice diagonale.

L'objectif

Établir la similitude de $A$ avec une matrice diagonale via la diagonalisation explicite.

Le principe

Si l'endomorphisme associé à $A$ admet une base de vecteurs propres, alors $A = P D P^{-1}$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ et $P$ la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres, ce qui équivaut à $D = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je détermine les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $A$ et une base $(v_1, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$ formée de vecteurs propres associés (si elle existe).
2
Je pose $P$ la matrice dont la $i$ -ème colonne est $v_i$ et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ ; je vérifie $AP = PD$ pour justifier la relation.
3
Je conclus $D = P^{-1} A P$ , donc $A$ est semblable à $D$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à une matrice diagonale.

Étape 1 —

Je détermine les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_n

A

et une base

(v_1, \dots, v_n)

\mathbb{R}^n

formée de vecteurs propres associés (si elle existe).

Le polynôme caractéristique est $(3-\lambda)(-\lambda) + 2 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$ , donc valeurs propres $1$ et $2$ . Pour $\lambda = 1$ : $(A - I)X = 0$ donne $v_1 = (1, 1)$ ; pour $\lambda = 2$ : $(A - 2I)X = 0$ donne $v_2 = (2, 1)$ .

Étape 2 —

Je pose

P

la matrice dont la

i

-ème colonne est

v_i

D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

; je vérifie

AP = PD

pour justifier la relation.

Je pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ; $\det(P) = -1$ , donc $P$ inversible. Vérification : $AP = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = PD$ .

Étape 3 —

Je conclus

D = P^{-1} A P

, donc

A

est semblable à

D

Donc $D = P^{-1} A P$ , ce qui prouve que $A$ est semblable à $\mathrm{diag}(1, 2)$ .

$A \sim \mathrm{diag}(1, 2)$ via $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

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