Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?

En vérifiant que $T_n$ est sans biais et que $V(T_n)\to 0$ pour appliquer Bienaymé-Tchebychev

L'objectif

Démontrer qu'un estimateur sans biais de variance tendant vers $0$ converge en probabilité vers le paramètre $g(\theta)$ .

Le principe

Si $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ pour tout $n$ , alors Bienaymé-Tchebychev donne $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ , qui tend vers $0$ dès que $V_\theta(T_n)\to 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ admet une espérance et une variance finies sous $P_\theta$ , et je calcule $E_\theta(T_n)$ pour constater $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ (absence de biais).
2
Je calcule $V_\theta(T_n)$ et je montre $\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0$ , pour tout $\theta$ .
3
J'applique Bienaymé-Tchebychev : $\forall \varepsilon > 0,\; P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par encadrement : $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\to 0$ , donc $T_n \xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ : l'estimateur est convergent.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant que TnT_nTn​ est sans biais et que V(Tn)→0V(T_n)\to 0V(Tn​)→0 pour appliquer Bienaymé-Tchebychev

Exemple corrigé

En vérifiant que $T_n$ est sans biais et que $V(T_n)\to 0$ pour appliquer Bienaymé-Tchebychev