Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?

En vérifiant $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ dans le cas discret

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On effectue $n$ lancers indépendants d'un dé équilibré à $6$ faces. Soit $X_i$ le résultat du $i$ -ème lancer. Montrer que $(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

La méthode

1
Je précise les supports discrets $X_i(\Omega)$ et je calcule les lois marginales $P(X_i=x_i)$ pour chaque $i$ .
Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ?Voir
2
Je me donne un $n$ -uplet quelconque $(x_1,\dots,x_n)\in \prod_i X_i(\Omega)$ .
3
Je calcule $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)$ via la modélisation, puis le produit $\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ , et je compare.
4
Si l'égalité est vérifiée pour tout $n$ -uplet, j'applique la caractérisation admise et je conclus à l'indépendance mutuelle.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On effectue $n$ lancers indépendants d'un dé équilibré à $6$ faces. Soit $X_i$ le résultat du $i$ -ème lancer. Montrer que $(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

1

Chaque $X_i$ prend ses valeurs dans $\{1,\dots,6\}$ avec $P(X_i=k)=\frac{1}{6}$ .

2

Je fixe $(x_1,\dots,x_n)\in \{1,\dots,6\}^n$ .

3

Comme les lancers sont modélisés comme indépendants, $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\frac{1}{6^n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{6}=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ .

4

L'égalité est vérifiée pour tout $n$ -uplet, donc $(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

$(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?

En vérifiant $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ dans le cas discret