Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ? | MetMat

Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?

En vérifiant $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ dans le cas discret

Prouver l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes via la factorisation des probabilités sur les valeurs.

L'objectif

Prouver l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes via la factorisation des probabilités sur les valeurs.

Le principe

Résultat admis au BO : pour $X_1,\dots,X_n$ discrètes, elles sont mutuellement indépendantes si et seulement si $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times \dots \times X_n(\Omega)$ .

La méthode

1
Je précise les supports discrets $X_i(\Omega)$ et je calcule les lois marginales $P(X_i=x_i)$ pour chaque $i$ .
Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ?Voir
2
Je me donne un $n$ -uplet quelconque $(x_1,\dots,x_n)\in \prod_i X_i(\Omega)$ .
3
Je calcule $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)$ via la modélisation, puis le produit $\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ , et je compare.
4
Si l'égalité est vérifiée pour tout $n$ -uplet, j'applique la caractérisation admise et je conclus à l'indépendance mutuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On effectue $n$ lancers indépendants d'un dé équilibré à $6$ faces. Soit $X_i$ le résultat du $i$ -ème lancer. Montrer que $(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

Étape 1 —

Je précise les supports discrets

X_i(\Omega)

et je calcule les lois marginales

P(X_i=x_i)

pour chaque

i

Chaque $X_i$ prend ses valeurs dans $\{1,\dots,6\}$ avec $P(X_i=k)=\frac{1}{6}$ .

Étape 2 —

Je me donne un

n

-uplet quelconque

(x_1,\dots,x_n)\in \prod_i X_i(\Omega)

Je fixe $(x_1,\dots,x_n)\in \{1,\dots,6\}^n$ .

Étape 3 —

Je calcule

P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)

via la modélisation, puis le produit

\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)

, et je compare.

Comme les lancers sont modélisés comme indépendants, $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\frac{1}{6^n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{6}=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ .

Étape 4 —

Si l'égalité est vérifiée pour tout

n

-uplet, j'applique la caractérisation admise et je conclus à l'indépendance mutuelle.

L'égalité est vérifiée pour tout $n$ -uplet, donc $(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

$(X_1,\dots,X_n)$ est mutuellement indépendante.

Application guidée

Soient $X$ et $Y$ deux variables à valeurs dans $\{0,1\}$ avec loi conjointe $P(0,0)=\frac{1}{6}$ , $P(0,1)=\frac{1}{3}$ , $P(1,0)=\frac{1}{6}$ , $P(1,1)=\frac{1}{3}$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 1

On tire simultanément $2$ boules parmi $4$ boules numérotées dans une urne. Soient $X$ et $Y$ les deux numéros obtenus avec $X<Y$ . Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Application autonome 2

On lance deux fois un dé équilibré à $6$ faces. Soient $X$ le résultat du premier lancer et $S$ la somme des deux résultats. Les variables $X$ et $S$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 3

Soient $X, Y$ deux variables à valeurs dans $\{0, 1\}$ de loi conjointe $P(X=0, Y=0) = 1/4$ , $P(X=0, Y=1) = 1/4$ , $P(X=1, Y=0) = 1/4$ , $P(X=1, Y=1) = 1/4$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

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En vérifiant P(X1=x1,…,Xn=xn)=∏k=1nP(Xk=xk)P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)P(X1​=x1​,…,Xn​=xn​)=∏k=1n​P(Xk​=xk​) dans le cas discret

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ dans le cas discret