Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ? | MetMat

Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?

En majorant $|t|f_X(t)$ par une fonction positive intégrable

Justifier l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire à densité sans calculer explicitement l'intégrale.

L'objectif

Justifier l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire à densité sans calculer explicitement l'intégrale.

Le principe

Si $|t|f_X(t)\leq g(t)$ pour tout $t$ avec $g$ positive et $\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t$ convergente, alors $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument et $E(X)$ existe (résultat admis).

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ et le support où $|t|f_X(t)$ est non nul.
2
Je cherche une majoration $|t|f_X(t)\leq g(t)$ avec $g\geq 0$ dont l'intégrale est explicitement convergente (exponentielle décroissante, fonction intégrable connue).
3
Je vérifie la convergence de $\int g(t)\,\mathrm{d}t$ en justifiant précisément les hypothèses (continuité, comportement aux bornes).
4
Je conclus par domination que $\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge, donc $E(X)$ existe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{\pi(1+t^2)^2}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Étape 1 —

J'identifie la densité

f_X

et le support où

|t|f_X(t)

est non nul.

La densité $f_X$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier ; on étudie $|t|f_X(t)=\frac{|t|}{\pi(1+t^2)^2}$ .

Étape 2 —

Je cherche une majoration

|t|f_X(t)\leq g(t)

avec

g\geq 0

dont l'intégrale est explicitement convergente (exponentielle décroissante, fonction intégrable connue).

Pour tout $t\in\mathbb{R}$ , $|t|\leq 1+t^2$ donc $|t|f_X(t)\leq \frac{1+t^2}{\pi(1+t^2)^2}=\frac{1}{\pi(1+t^2)}=:g(t)$ .

Étape 3 —

Je vérifie la convergence de

\int g(t)\,\mathrm{d}t

en justifiant précisément les hypothèses (continuité, comportement aux bornes).

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\pi(1+t^2)}=1$ (intégrale de référence de la densité de Cauchy renormalisée).

Étape 4 —

Je conclus par domination que

\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

converge, donc

E(X)

existe.

Par domination, $\int_{-\infty}^{+\infty}|t|f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge, donc $E(X)$ existe.

$E(X)$ existe.

Application guidée

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}$ sur $\mathbb{R}$ (loi de Laplace). Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[0,1]$ de densité $f_X$ continue et bornée par $M$ . Montrer que $E(X)$ existe.

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \tfrac{3}{t^4} \mathbf{1}_{t \geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f_X(t) = C e^{-t^2/2}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

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En majorant ∣t∣fX(t)|t|f_X(t)∣t∣fX​(t) par une fonction positive intégrable

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