Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?

La densité $f_X$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier ; on étudie $|t|f_X(t)=\frac{|t|}{\pi(1+t^2)^2}$.

Pour tout $t\in\mathbb{R}$, $|t|\leq 1+t^2$ donc $|t|f_X(t)\leq \frac{1+t^2}{\pi(1+t^2)^2}=\frac{1}{\pi(1+t^2)}=:g(t)$.

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\pi(1+t^2)}=1$ (intégrale de référence de la densité de Cauchy renormalisée).

Par domination, $\int_{-\infty}^{+\infty}|t|f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge, donc $E(X)$ existe.