Déterminer la loi d'une fonction d'une variable à densité en passant par la fonction de répartition.
Choisissez une approche :
En revenant à la fonction de répartition de φ(X)\varphi(X)φ(X) via φ−1\varphi^{-1}φ−1, puis en dérivant
Transformation par une fonction C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone : écrire Fφ(X)F_{\varphi(X)}Fφ(X) à l'aide de φ−1\varphi^{-1}φ−1 puis dériver pour obtenir la densité.
En traitant X2X^2X2 via FX2(y)=FX(y)−FX(−y)F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})FX2(y)=FX(y)−FX(−y) pour y≥0y \geq 0y≥0, puis en dérivant
Cas particulier de φ(x)=x2\varphi(x) = x^2φ(x)=x2 (non monotone sur R\mathbb{R}R) : on scinde l'évènement en −y≤X≤y-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}−y≤X≤y.