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Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ?

En appliquant le théorème admis : Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X et ff continue ⇒f(Xn)→Pf(X)\Rightarrow f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)

L'objectif

Déduire la convergence en probabilité de f(Xn)f(X_n) à partir de celle de XnX_n, lorsque ff est continue.

Le principe

Théorème admis au BO : si Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X et si f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est continue, alors f(Xn)→Pf(X)f(X_n) \xrightarrow{P} f(X). En particulier, enchaîné avec la LFGN, on obtient f(X‾n)→Pf(m)f(\overline{X}_n) \xrightarrow{P} f(m).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X (souvent via la LFGN ou Bienaymé-Tchebychev) et j'identifie la fonction f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} appliquée.
    Voir
  2. 2
    Je justifie la continuité de ff sur R\mathbb{R} (ou au moins sur un voisinage de la limite XX), en invoquant les opérations sur les fonctions continues usuelles.
  3. 3
    J'applique le théorème admis : f(Xn)→Pf(X)f(X_n) \xrightarrow{P} f(X) et j'explicite la limite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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