Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ? | MetMat

Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ?

En appliquant le théorème admis : $X_n \xrightarrow{P} X$ et $f$ continue $\Rightarrow f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)$

Déduire la convergence en probabilité de $f(X_n)$ à partir de celle de $X_n$ , lorsque $f$ est continue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0,1[$ et $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ . Montrer que $\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n) \xrightarrow{P} p(1-p)$ .

L'objectif

Déduire la convergence en probabilité de $f(X_n)$ à partir de celle de $X_n$ , lorsque $f$ est continue.

Le principe

Théorème admis au BO : si $X_n \xrightarrow{P} X$ et si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue, alors $f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)$ . En particulier, enchaîné avec la LFGN, on obtient $f(\overline{X}_n) \xrightarrow{P} f(m)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X_n \xrightarrow{P} X$ (souvent via la LFGN ou Bienaymé-Tchebychev) et j'identifie la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ appliquée.
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
2
Je justifie la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$ (ou au moins sur un voisinage de la limite $X$ ), en invoquant les opérations sur les fonctions continues usuelles.
3
J'applique le théorème admis : $f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)$ et j'explicite la limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

X_n \xrightarrow{P} X

(souvent via la LFGN ou Bienaymé-Tchebychev) et j'identifie la fonction

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

appliquée.

Par la LFGN, $\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ ; j'applique $f : t \mapsto t(1 - t)$ .

Étape 2 —

Je justifie la continuité de

f

sur

\mathbb{R}

(ou au moins sur un voisinage de la limite

X

), en invoquant les opérations sur les fonctions continues usuelles.

$f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

J'applique le théorème admis :

f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)

et j'explicite la limite.

Par le théorème de composition, $f(\overline{X}_n) = \overline{X}_n(1 - \overline{X}_n) \xrightarrow{P} f(p) = p(1-p)$ .

$\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n) \xrightarrow{P} p(1-p)$ .

Application guidée

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ et $\overline{X}_n$ leur moyenne empirique. Montrer que $1/\overline{X}_n \xrightarrow{P} \lambda$ .

Application autonome 1

Soit $X_n \xrightarrow{P} 2$ . Montrer que $e^{X_n} \xrightarrow{P} e^2$ .

Application autonome 2

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de carré intégrable, avec $E(X_1) = m$ , et $\overline{X}_n$ leur moyenne empirique. Montrer que $\overline{X}_n^2 \xrightarrow{P} m^2$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ et $\overline{X}_n$ leur moyenne empirique. Montrer que $\sqrt{\overline{X}_n} \xrightarrow{P} \sqrt{\lambda}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant le théorème admis : Xn→PXX_n \xrightarrow{P} XXn​P​X et fff continue ⇒f(Xn)→Pf(X)\Rightarrow f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)⇒f(Xn​)P​f(X)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant le théorème admis : $X_n \xrightarrow{P} X$ et $f$ continue $\Rightarrow f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)$