Comment montrer qu'un… : En exhibant un polynôme annulateur dont… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme n'est pas diagonalisable ?

En exhibant un polynôme annulateur dont les racines ne suffisent pas à saturer la dimension

Prouver la non-diagonalisabilité à partir d'une information polynomiale sur $f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $(A - I_3)^2 = 0$ et $A \neq I_3$ . Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

L'objectif

Prouver la non-diagonalisabilité à partir d'une information polynomiale sur $f$ .

Le principe

Les valeurs propres de $f$ sont parmi les racines d'un polynôme annulateur $Q$ ; si la somme des dimensions des sous-espaces propres associés à ces racines est nécessairement inférieure à $\dim E$ , alors $f$ n'est pas diagonalisable.

La méthode

1
Je trouve un polynôme annulateur $Q$ de $f$ (donné ou calculé à partir d'une relation).
2
Je détermine les racines réelles de $Q$ : elles constituent la liste des valeurs propres possibles.
3
Je calcule (ou majore) $\dim E_\lambda(f)$ pour chaque racine $\lambda$ .
4
Si $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) < \dim E$ , je conclus que $f$ n'est pas diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $(A - I_3)^2 = 0$ et $A \neq I_3$ . Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Étape 1 —

Je trouve un polynôme annulateur

Q

f

(donné ou calculé à partir d'une relation).

$Q(X) = (X - 1)^2$ annule $A$ .

Étape 2 —

Je détermine les racines réelles de

Q

: elles constituent la liste des valeurs propres possibles.

La seule racine réelle est $\lambda = 1$ , donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{1\}$ .

Étape 3 —

Je calcule (ou majore)

\dim E_\lambda(f)

pour chaque racine

\lambda

Si $A$ était diagonalisable, $\dim E_1(A) = 3$ , ce qui donnerait $A = I_3$ (la seule matrice diagonale sur la base canonique avec toutes les valeurs propres égales à $1$ ).

Étape 4 —

\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) < \dim E

, je conclus que

f

n'est pas diagonalisable.

Comme $A \neq I_3$ , $\dim E_1(A) < 3$ , donc $A$ n'est pas diagonalisable.

$A$ n'est pas diagonalisable.

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