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Réduction des endomorphismes — cours et méthodes ECG2 approfondies | MetMat
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ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Approfondies
Réduction des endomorphismes
Étude des éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée : valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et diagonalisation.
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1
Maîtriser
Comment déterminer le spectre d'une matrice triangulaire ?
Nouveau
Comment montrer qu'un scalaire
λ
\lambda
λ
est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?
En exhibant un vecteur non nul
x
x
x
tel que
f
(
x
)
=
λ
x
f(x) = \lambda x
f
(
x
)
=
λ
x
Nouveau
En montrant que
f
−
λ
I
d
E
f - \lambda \mathrm{Id}_E
f
−
λ
Id
E
n'est pas injectif
Nouveau
En utilisant un polynôme annulateur et ses racines
Nouveau
Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?
En résolvant le système linéaire homogène
(
A
−
λ
I
n
)
X
=
0
(A - \lambda I_n) X = 0
(
A
−
λ
I
n
)
X
=
0
Nouveau
En résolvant l'équation
f
(
x
)
=
λ
x
f(x) = \lambda x
f
(
x
)
=
λ
x
sur les coordonnées dans une base
Nouveau
Comment calculer le sous-espace propre
E
λ
(
f
)
E_\lambda(f)
E
λ
(
f
)
et sa dimension ?
En déterminant
ker
(
f
−
λ
I
d
E
)
\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)
ker
(
f
−
λ
Id
E
)
et une base du noyau
Nouveau
En échelonnant
A
−
λ
I
n
A - \lambda I_n
A
−
λ
I
n
et en utilisant
dim
E
λ
=
n
−
r
g
(
A
−
λ
I
n
)
\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)
dim
E
λ
=
n
−
rg
(
A
−
λ
I
n
)
Nouveau
En utilisant
∑
λ
dim
E
λ
(
f
)
=
dim
E
\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E
∑
λ
dim
E
λ
(
f
)
=
dim
E
dans le cas diagonalisable
Nouveau
Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?
En restreignant le spectre aux racines d'un polynôme annulateur
Q
Q
Q
Nouveau
En testant chaque racine de
Q
Q
Q
pour déterminer si elle est effectivement valeur propre
Nouveau
Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?
En calculant les premières puissances et en cherchant une relation linéaire
Nouveau
En exploitant une relation de récurrence donnée dans l'énoncé
Nouveau
En s'inspirant d'exemples classiques (projecteurs, symétries, homothéties)
Nouveau
Comment déduire des éléments propres de
Q
(
f
)
Q(f)
Q
(
f
)
à partir des éléments propres de
f
f
f
?
En propageant
f
(
x
)
=
λ
x
f(x) = \lambda x
f
(
x
)
=
λ
x
à
Q
(
f
)
(
x
)
=
Q
(
λ
)
x
Q(f)(x) = Q(\lambda) x
Q
(
f
)
(
x
)
=
Q
(
λ
)
x
Nouveau
En appliquant matriciellement
A
X
=
λ
X
⇒
Q
(
A
)
X
=
Q
(
λ
)
X
A X = \lambda X \Rightarrow Q(A) X = Q(\lambda) X
A
X
=
λ
X
⇒
Q
(
A
)
X
=
Q
(
λ
)
X
Nouveau
Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?
En citant directement le résultat du cours
Nouveau
En menant une preuve par récurrence sur
k
k
k
Nouveau
Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?
En exhibant une base de
E
E
E
formée de vecteurs propres de
f
f
f
Nouveau
En vérifiant
∑
λ
∈
S
p
(
f
)
dim
E
λ
(
f
)
=
dim
E
\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E
∑
λ
∈
Sp
(
f
)
dim
E
λ
(
f
)
=
dim
E
Nouveau
En constatant que
f
f
f
admet
n
=
dim
E
n = \dim E
n
=
dim
E
valeurs propres deux à deux distinctes
Nouveau
En exhibant un polynôme annulateur scindé à racines simples sur
R
\mathbb{R}
R
Nouveau
Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer
P
P
P
et
D
D
D
avec
D
=
P
−
1
A
P
D = P^{-1} A P
D
=
P
−
1
A
P
) ?
En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former
P
P
P
et
D
D
D
Nouveau
En vérifiant a posteriori que
A
P
=
P
D
A P = P D
A
P
=
P
D
Nouveau
Comment montrer qu'un endomorphisme n'est pas diagonalisable ?
En montrant que
∑
λ
∈
S
p
(
f
)
dim
E
λ
(
f
)
<
dim
E
\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) < \dim E
∑
λ
∈
Sp
(
f
)
dim
E
λ
(
f
)
<
dim
E
Nouveau
En raisonnant par l'absurde à partir de l'hypothèse que
f
f
f
est diagonalisable
Nouveau
En exhibant un polynôme annulateur dont les racines ne suffisent pas à saturer la dimension
Nouveau
Comment calculer les puissances
A
n
A^n
A
n
d'une matrice diagonalisable ?
En diagonalisant
A
=
P
D
P
−
1
A = P D P^{-1}
A
=
P
D
P
−
1
puis en utilisant
A
n
=
P
D
n
P
−
1
A^n = P D^n P^{-1}
A
n
=
P
D
n
P
−
1
Nouveau
En utilisant un polynôme annulateur pour obtenir une relation de récurrence sur les puissances
Nouveau
En écrivant
X
n
=
Q
(
X
)
P
A
(
X
)
+
R
(
X
)
X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)
X
n
=
Q
(
X
)
P
A
(
X
)
+
R
(
X
)
par division euclidienne puis
A
n
=
R
(
A
)
A^n = R(A)
A
n
=
R
(
A
)
Nouveau
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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.