Comment calculer les puissances… : En écrivant X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant $X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)$ par division euclidienne puis $A^n = R(A)$

Obtenir une expression close de $A^n$ via une division polynomiale et l'utilisation d'un annulateur.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(A - 2 I_n)(A + I_n) = 0$ . Calculer $A^n$ .

L'objectif

Obtenir une expression close de $A^n$ via une division polynomiale et l'utilisation d'un annulateur.

Le principe

Soit $P_A$ un annulateur de $A$ de degré $d$ . La division euclidienne de $X^n$ par $P_A$ fournit $X^n = Q_n(X) P_A(X) + R_n(X)$ avec $\deg R_n < d$ ; en évaluant en $A$ et utilisant $P_A(A) = 0$ , on obtient $A^n = R_n(A)$ .

La méthode

1
Je choisis un polynôme annulateur $P_A$ de $A$ , de degré $d$ le plus petit possible, en notant ses racines (valeurs propres) $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ .
2
J'écris la forme du reste : $R_n(X) = r_{n,d-1} X^{d-1} + \dots + r_{n,0}$ .
3
Pour chaque racine $\lambda_i$ de $P_A$ , j'évalue $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ , ce qui donne un système linéaire dans les inconnues $r_{n,k}$ ; en cas de racine multiple, je dérive la relation.
4
Je résous ce système pour obtenir les $r_{n,k}$ puis $A^n = R_n(A) = r_{n,d-1} A^{d-1} + \dots + r_{n,0} I_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(A - 2 I_n)(A + I_n) = 0$ . Calculer $A^n$ .

Étape 1 —

Je choisis un polynôme annulateur

P_A

A

, de degré

d

le plus petit possible, en notant ses racines (valeurs propres)

\lambda_1, \dots, \lambda_p

$P_A(X) = (X - 2)(X + 1)$ , de degré $2$ , avec racines $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1$ .

Étape 2 —

J'écris la forme du reste :

R_n(X) = r_{n,d-1} X^{d-1} + \dots + r_{n,0}

On écrit $R_n(X) = a_n X + b_n$ .

Étape 3 —

Pour chaque racine

\lambda_i

P_A

, j'évalue

\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)

, ce qui donne un système linéaire dans les inconnues

r_{n,k}

; en cas de racine multiple, je dérive la relation.

Les relations $2^n = 2 a_n + b_n$ et $(-1)^n = -a_n + b_n$ donnent, par résolution, $a_n = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3}$ et $b_n = \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3}$ .

Étape 4 —

Je résous ce système pour obtenir les

r_{n,k}

puis

A^n = R_n(A) = r_{n,d-1} A^{d-1} + \dots + r_{n,0} I_n

$A^n = R_n(A) = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

$A^n = \dfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \dfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

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Comment calculer les puissances AnA^nAn d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant Xn=Q(X)PA(X)+R(X)X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)Xn=Q(X)PA​(X)+R(X) par division euclidienne puis An=R(A)A^n = R(A)An=R(A)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant $X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)$ par division euclidienne puis $A^n = R(A)$