Comment calculer les puissances… : En diagonalisant A = P D P^ -1 puis en… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En diagonalisant $A = P D P^{-1}$ puis en utilisant $A^n = P D^n P^{-1}$

Calculer explicitement $A^n$ pour tout entier $n \geq 0$ à partir de la diagonalisation de $A$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

L'objectif

Calculer explicitement $A^n$ pour tout entier $n \geq 0$ à partir de la diagonalisation de $A$ .

Le principe

Si $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors par récurrence immédiate $A^n = P D^n P^{-1}$ , et $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

La méthode

1
Je diagonalise $A$ : je détermine $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = P D P^{-1}$ .
2
Je calcule $D^n$ en élevant chaque coefficient diagonal de $D$ à la puissance $n$ .
3
Je calcule $P^{-1}$ (par pivot, formule $2 \times 2$ , ou autre).
4
J'effectue le produit $A^n = P D^n P^{-1}$ et je simplifie l'expression obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je diagonalise

A

: je détermine

P

inversible et

D

diagonale telles que

A = P D P^{-1}

On a vu $A = P D P^{-1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

D^n

en élevant chaque coefficient diagonal de

D

à la puissance

n

$D^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

P^{-1}

(par pivot, formule

2 \times 2

, ou autre).

$\det P = -2$ , donc $P^{-1} = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

J'effectue le produit

A^n = P D^n P^{-1}

et je simplifie l'expression obtenue.

$A^n = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$ .

$A^n = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$ .

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Comment calculer les puissances AnA^nAn d'une matrice diagonalisable ?

En diagonalisant A=PDP−1A = P D P^{-1}A=PDP−1 puis en utilisant An=PDnP−1A^n = P D^n P^{-1}An=PDnP−1

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En diagonalisant $A = P D P^{-1}$ puis en utilisant $A^n = P D^n P^{-1}$