Comment calculer les puissances… : En utilisant un polynôme annulateur… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En utilisant un polynôme annulateur pour obtenir une relation de récurrence sur les puissances

Obtenir une forme explicite de $A^n$ via une relation de récurrence sur des coefficients.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A + 2 I_n$ . Exprimer $A^n$ sous la forme $a_n A + b_n I_n$ .

L'objectif

Obtenir une forme explicite de $A^n$ via une relation de récurrence sur des coefficients.

Le principe

Si $Q(X) = X^d - \sum_{k=0}^{d-1} c_k X^k$ annule $A$ , alors $A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k$ ; on cherche $A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k$ et les coefficients $a_k^{(n)}$ vérifient une récurrence linéaire.

La méthode

1
J'exhibe un polynôme annulateur $Q$ de $A$ , de degré $d$ , puis j'écris $A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k$ .
2
Je postule $A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k$ (combinaison linéaire des $A^k$ pour $k < d$ ).
3
Je multiplie par $A$ pour écrire la relation de récurrence entre les $a_k^{(n+1)}$ et les $a_k^{(n)}$ , et j'initialise avec $A^0, \dots, A^{d-1}$ .
4
Je résous cette récurrence (ou j'identifie les coefficients $a_k^{(n)}$ à partir des valeurs propres) pour obtenir $A^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A + 2 I_n$ . Exprimer $A^n$ sous la forme $a_n A + b_n I_n$ .

Étape 1 —

J'exhibe un polynôme annulateur

Q

A

, de degré

d

, puis j'écris

A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k

$Q(X) = X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$ annule $A$ , d'où $A^2 = A + 2 I_n$ .

Étape 2 —

Je postule

A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k

(combinaison linéaire des

A^k

pour

k < d

On pose $A^n = a_n A + b_n I_n$ : c'est cohérent pour $n = 0$ ( $a_0 = 0, b_0 = 1$ ) et $n = 1$ ( $a_1 = 1, b_1 = 0$ ).

Étape 3 —

Je multiplie par

A

pour écrire la relation de récurrence entre les

a_k^{(n+1)}

et les

a_k^{(n)}

, et j'initialise avec

A^0, \dots, A^{d-1}

$A^{n+1} = A \cdot A^n = a_n A^2 + b_n A = a_n(A + 2I) + b_n A = (a_n + b_n) A + 2 a_n I$ , donc $a_{n+1} = a_n + b_n$ et $b_{n+1} = 2 a_n$ .

Étape 4 —

Je résous cette récurrence (ou j'identifie les coefficients

a_k^{(n)}

à partir des valeurs propres) pour obtenir

A^n

La diagonalisation des coefficients via les valeurs propres $2, -1$ donne $a_n = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3}$ et $b_n = \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3}$ , soit $A^n = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

$A^n = \dfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \dfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

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Comment calculer les puissances AnA^nAn d'une matrice diagonalisable ?

En utilisant un polynôme annulateur pour obtenir une relation de récurrence sur les puissances

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