Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En s'inspirant d'exemples classiques (projecteurs, symétries, homothéties)

Gagner du temps en reconnaissant que $f$ est un projecteur, une symétrie ou une homothétie et en utilisant son polynôme annulateur type.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $p$ la projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un supplémentaire $G$ . Trouver un polynôme annulateur.

L'objectif

Gagner du temps en reconnaissant que $f$ est un projecteur, une symétrie ou une homothétie et en utilisant son polynôme annulateur type.

Le principe

Projecteur : $X^2 - X$ ; symétrie : $X^2 - 1$ ; homothétie de rapport $\lambda$ : $X - \lambda$ . Ces polynômes annulent l'endomorphisme correspondant.

La méthode

1
Je repère dans l'énoncé une propriété caractéristique : $f^2 = f$ (projecteur), $f^2 = \mathrm{Id}$ (symétrie), $f = \lambda \mathrm{Id}$ (homothétie).
2
J'associe le polynôme annulateur correspondant : $X^2 - X$ , $X^2 - 1$ ou $X - \lambda$ .
3
Je conclus : $Q(f) = 0$ , et j'utilise les racines de $Q$ pour restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $p$ la projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un supplémentaire $G$ . Trouver un polynôme annulateur.

Étape 1 —

Je repère dans l'énoncé une propriété caractéristique :

f^2 = f

(projecteur),

f^2 = \mathrm{Id}

(symétrie),

f = \lambda \mathrm{Id}

(homothétie).

$p$ est un projecteur, donc $p^2 = p$ .

Étape 2 —

J'associe le polynôme annulateur correspondant :

X^2 - X

,

X^2 - 1

ou

X - \lambda

.

Le polynôme type pour un projecteur est $Q(X) = X^2 - X = X(X-1)$ .

Étape 3 —

Je conclus :

Q(f) = 0

, et j'utilise les racines de

Q

pour restreindre

\mathrm{Sp}(f)

.

$Q(p) = p^2 - p = 0$ , donc $Q$ annule $p$ et $\mathrm{Sp}(p) \subset \{0, 1\}$ .

$Q(X) = X(X-1)$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment déduire des éléments propres de

Q(f)

à partir des éléments propres de

f

?

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?