Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En calculant les premières puissances et en cherchant une relation linéaire

Construire un polynôme annulateur d'une matrice $A$ en cherchant une dépendance linéaire entre $I_n, A, A^2, \dots$ .

L'objectif

Construire un polynôme annulateur d'une matrice $A$ en cherchant une dépendance linéaire entre $I_n, A, A^2, \dots$ .

Le principe

Si $\alpha_0 I_n + \alpha_1 A + \dots + \alpha_k A^k = 0$ avec des scalaires non tous nuls, alors $Q(X) = \sum_{i=0}^k \alpha_i X^i$ est un polynôme annulateur non nul de $A$ .

La méthode

1
Je calcule successivement $A, A^2, A^3, \dots$ jusqu'à repérer un motif ou une relation simple entre ces puissances et $I_n$ .
2
J'écris la relation obtenue sous la forme $\alpha_0 I_n + \alpha_1 A + \dots + \alpha_k A^k = 0$ , en regroupant les coefficients.
3
Je conclus que $Q(X) = \alpha_0 + \alpha_1 X + \dots + \alpha_k X^k$ est un polynôme annulateur non nul de $A$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Trouver un polynôme annulateur de $A$ .

Étape 1 —

Je calcule successivement

A, A^2, A^3, \dots

jusqu'à repérer un motif ou une relation simple entre ces puissances et

I_n

On calcule $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'écris la relation obtenue sous la forme

\alpha_0 I_n + \alpha_1 A + \dots + \alpha_k A^k = 0

, en regroupant les coefficients.

On constate que $A^2 - 2 A + I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0$ .

Étape 3 —

Je conclus que

Q(X) = \alpha_0 + \alpha_1 X + \dots + \alpha_k X^k

est un polynôme annulateur non nul de

A

Donc $Q(X) = X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$ est un polynôme annulateur de $A$ .

$Q(X) = (X-1)^2$ annule $A$ .

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Trouver un polynôme annulateur de $A$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Trouver un polynôme annulateur de $A$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Trouver un polynôme annulateur de $A$ .

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Trouver un polynôme annulateur de $A$ .

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