Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En exploitant une relation de récurrence donnée dans l'énoncé

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f^2 = f$ . Construire un polynôme annulateur.

La méthode

1
Je lis l'énoncé et j'identifie une relation du type $a_k f^k + \dots + a_0 \mathrm{Id} = 0$ (ou matricielle équivalente).
2
Je traduis cette relation en posant $Q(X) = a_k X^k + \dots + a_0$ , de sorte que $Q(f) = 0$ .
3
Je conclus que $Q$ est un polynôme annulateur de $f$ , puis j'en extrais les racines pour restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f^2 = f$ . Construire un polynôme annulateur.

1

La relation de l'énoncé est $f^2 - f = 0$ .

2

Je pose $Q(X) = X^2 - X$ , de sorte que $Q(f) = f^2 - f = 0$ .

3

$Q$ est un polynôme annulateur ; ses racines sont $0$ et $1$ , donc $\mathrm{Sp}(f) \subset \{0, 1\}$ .

$Q(X) = X^2 - X$ .

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