Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En s'inspirant d'exemples classiques (projecteurs, symétries, homothéties)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $p$ la projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un supplémentaire $G$ . Trouver un polynôme annulateur.

La méthode

1
Je repère dans l'énoncé une propriété caractéristique : $f^2 = f$ (projecteur), $f^2 = \mathrm{Id}$ (symétrie), $f = \lambda \mathrm{Id}$ (homothétie).
2
J'associe le polynôme annulateur correspondant : $X^2 - X$ , $X^2 - 1$ ou $X - \lambda$ .
3
Je conclus : $Q(f) = 0$ , et j'utilise les racines de $Q$ pour restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $p$ la projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un supplémentaire $G$ . Trouver un polynôme annulateur.

1

$p$ est un projecteur, donc $p^2 = p$ .

2

Le polynôme type pour un projecteur est $Q(X) = X^2 - X = X(X-1)$ .

3

$Q(p) = p^2 - p = 0$ , donc $Q$ annule $p$ et $\mathrm{Sp}(p) \subset \{0, 1\}$ .

$Q(X) = X(X-1)$ .

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f

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