Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En s'inspirant d'exemples classiques (projecteurs, symétries, homothéties)

Gagner du temps en reconnaissant que $f$ est un projecteur, une symétrie ou une homothétie et en utilisant son polynôme annulateur type.

L'objectif

Gagner du temps en reconnaissant que $f$ est un projecteur, une symétrie ou une homothétie et en utilisant son polynôme annulateur type.

Le principe

Projecteur : $X^2 - X$ ; symétrie : $X^2 - 1$ ; homothétie de rapport $\lambda$ : $X - \lambda$ . Ces polynômes annulent l'endomorphisme correspondant.

La méthode

1
Je repère dans l'énoncé une propriété caractéristique : $f^2 = f$ (projecteur), $f^2 = \mathrm{Id}$ (symétrie), $f = \lambda \mathrm{Id}$ (homothétie).
2
J'associe le polynôme annulateur correspondant : $X^2 - X$ , $X^2 - 1$ ou $X - \lambda$ .
3
Je conclus : $Q(f) = 0$ , et j'utilise les racines de $Q$ pour restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $p$ la projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un supplémentaire $G$ . Trouver un polynôme annulateur.

Étape 1 —

Je repère dans l'énoncé une propriété caractéristique :

f^2 = f

(projecteur),

f^2 = \mathrm{Id}

(symétrie),

f = \lambda \mathrm{Id}

(homothétie).

$p$ est un projecteur, donc $p^2 = p$ .

Étape 2 —

J'associe le polynôme annulateur correspondant :

X^2 - X

X^2 - 1

X - \lambda

Le polynôme type pour un projecteur est $Q(X) = X^2 - X = X(X-1)$ .

Étape 3 —

Je conclus :

Q(f) = 0

, et j'utilise les racines de

Q

pour restreindre

\mathrm{Sp}(f)

$Q(p) = p^2 - p = 0$ , donc $Q$ annule $p$ et $\mathrm{Sp}(p) \subset \{0, 1\}$ .

$Q(X) = X(X-1)$ .

Application guidée

Soit $h \colon x \mapsto 5 x$ l'homothétie de rapport $5$ sur $\mathbb{R}^n$ . Trouver un polynôme annulateur.

Application autonome 1

Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à une droite dans le plan. Trouver un polynôme annulateur.

Application autonome 2

Soit $p$ un projecteur non trivial de $\mathbb{R}^n$ ( $p \circ p = p$ , $p \neq 0, \mathrm{Id}$ ). Déterminer les valeurs propres de $p$ et montrer qu'il est diagonalisable.

Application autonome 3

Soit $s$ une symétrie de $\mathbb{R}^n$ ( $s^2 = \mathrm{Id}$ , $s \neq \pm \mathrm{Id}$ ). Déterminer les valeurs propres et montrer que $s$ est diagonalisable.

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