Comment calculer le sous-espace… : En utilisant sum_lambda dim E_lambda(f)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?

En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable

Retrouver la dimension d'un sous-espace propre lorsque $f$ est connu diagonalisable et que les autres dimensions sont calculées.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, -1\}$ , et $\dim E_1(f) = 3$ . Déterminer $\dim E_{-1}(f)$ .

L'objectif

Retrouver la dimension d'un sous-espace propre lorsque $f$ est connu diagonalisable et que les autres dimensions sont calculées.

Le principe

Dans un espace de dimension finie, $f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette égalité permet de retrouver une dimension inconnue si l'on connaît les autres.

La méthode

1
Je vérifie soigneusement l'hypothèse de diagonalisabilité de $f$ (par exemple via un polynôme annulateur scindé à racines simples ou via un énoncé explicite).
2
J'énumère toutes les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ de $f$ et je calcule les dimensions connues $\dim E_{\lambda_i}(f)$ .
3
J'écris l'égalité $\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f) = \dim E$ et je la résous pour la dimension inconnue.
4
Je conclus en énonçant la valeur trouvée et, si possible, en confirmant par une méthode directe (système linéaire).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, -1\}$ , et $\dim E_1(f) = 3$ . Déterminer $\dim E_{-1}(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie soigneusement l'hypothèse de diagonalisabilité de

f

(par exemple via un polynôme annulateur scindé à racines simples ou via un énoncé explicite).

L'énoncé affirme que $f$ est diagonalisable, je peux donc utiliser $\dim E_1(f) + \dim E_{-1}(f) = \dim \mathbb{R}^4 = 4$ .

Étape 2 —

J'énumère toutes les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_p

f

et je calcule les dimensions connues

\dim E_{\lambda_i}(f)

La seule dimension inconnue est $\dim E_{-1}(f)$ , car $\dim E_1(f) = 3$ est donnée.

Étape 3 —

J'écris l'égalité

\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f) = \dim E

et je la résous pour la dimension inconnue.

L'équation $3 + \dim E_{-1}(f) = 4$ donne $\dim E_{-1}(f) = 1$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant la valeur trouvée et, si possible, en confirmant par une méthode directe (système linéaire).

Conclusion : $\dim E_{-1}(f) = 1$ .

$\dim E_{-1}(f) = 1$ .

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En utilisant ∑λdim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ​dimEλ​(f)=dimE dans le cas diagonalisable

Pour comprendre, fais des exercices !

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En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable