En échelonnant $A - \lambda I_n$ et en utilisant $\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$

L'objectif

Obtenir rapidement la dimension de $E_\lambda(A)$ sans résoudre complètement le système.

Le principe

Le théorème du rang donne $\dim \ker(A - \lambda I_n) + \mathrm{rg}(A - \lambda I_n) = n$ , donc $\dim E_\lambda(A) = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$ ; le rang se lit sur une forme échelonnée.

La méthode

1
Je forme la matrice $A - \lambda I_n$ puis je l'échelonne par des opérations élémentaires sur les lignes.
2
Je compte le nombre $r$ de lignes non nulles (ou de pivots) dans la forme échelonnée : c'est le rang de $A - \lambda I_n$ .
3
J'applique le théorème du rang : $\dim E_\lambda(A) = n - r$ .
4
Si besoin, je poursuis la résolution à partir de la forme échelonnée pour écrire explicitement une base du sous-espace propre.

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Application guidée 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_1(A)$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

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En échelonnant A−λInA - \lambda I_nA−λIn​ et en utilisant dim⁡Eλ=n−rg(A−λIn)\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)dimEλ​=n−rg(A−λIn​)

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En échelonnant $A - \lambda I_n$ et en utilisant $\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$