Comment calculer le sous-espace… : En échelonnant A - lambda I_n et en… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?

En échelonnant $A - \lambda I_n$ et en utilisant $\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$

Obtenir rapidement la dimension de $E_\lambda(A)$ sans résoudre complètement le système.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

L'objectif

Obtenir rapidement la dimension de $E_\lambda(A)$ sans résoudre complètement le système.

Le principe

Le théorème du rang donne $\dim \ker(A - \lambda I_n) + \mathrm{rg}(A - \lambda I_n) = n$ , donc $\dim E_\lambda(A) = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$ ; le rang se lit sur une forme échelonnée.

La méthode

1
Je forme la matrice $A - \lambda I_n$ puis je l'échelonne par des opérations élémentaires sur les lignes.
2
Je compte le nombre $r$ de lignes non nulles (ou de pivots) dans la forme échelonnée : c'est le rang de $A - \lambda I_n$ .
3
J'applique le théorème du rang : $\dim E_\lambda(A) = n - r$ .
4
Si besoin, je poursuis la résolution à partir de la forme échelonnée pour écrire explicitement une base du sous-espace propre.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\dim E_2(A)$ .

Étape 1 —

Je forme la matrice

A - \lambda I_n

puis je l'échelonne par des opérations élémentaires sur les lignes.

On forme $A - 2 I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , déjà échelonnée.

Étape 2 —

Je compte le nombre

r

de lignes non nulles (ou de pivots) dans la forme échelonnée : c'est le rang de

A - \lambda I_n

Il y a une seule ligne non nulle, donc $\mathrm{rg}(A - 2 I_3) = 1$ .

Étape 3 —

J'applique le théorème du rang :

\dim E_\lambda(A) = n - r

Le théorème du rang donne $\dim E_2(A) = 3 - 1 = 2$ .

Étape 4 —

Si besoin, je poursuis la résolution à partir de la forme échelonnée pour écrire explicitement une base du sous-espace propre.

En résolvant $y = 0$ , une base du sous-espace propre est $((1, 0, 0), (0, 0, 1))$ .

$\dim E_2(A) = 2$ .

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Comment calculer le sous-espace propre Eλ(f)E_\lambda(f)Eλ​(f) et sa dimension ?

En échelonnant A−λInA - \lambda I_nA−λIn​ et en utilisant dim⁡Eλ=n−rg(A−λIn)\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)dimEλ​=n−rg(A−λIn​)

Pour comprendre, fais des exercices !

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En échelonnant $A - \lambda I_n$ et en utilisant $\dim E_\lambda = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I_n)$