En déterminant $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ et une base du noyau

L'objectif

Décrire complètement $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ sous forme d'un vect de vecteurs libres et en donner la dimension.

Le principe

Par définition, $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ ; une base de ce noyau s'obtient en paramétrant l'ensemble des solutions du système homogène associé.

La méthode

1
Je forme la matrice $A - \lambda I_n$ et j'écris le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ associé.
2
Je résous ce système par le pivot de Gauss en isolant les inconnues principales en fonction des paramètres libres.
3
J'écris l'ensemble des solutions sous la forme $\{\alpha_1 V_1 + \dots + \alpha_k V_k,\ \alpha_i \in \mathbb{R}\}$ , où $(V_1, \dots, V_k)$ est la famille de vecteurs lus dans la paramétrisation.
4
Je vérifie que $(V_1, \dots, V_k)$ est libre (automatique par construction) et je conclus $E_\lambda(f) = \mathrm{Vect}(V_1, \dots, V_k)$ , $\dim E_\lambda(f) = k$ .

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Application guidée 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_1(A)$ et sa dimension.

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_0(A)$ et sa dimension.

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_2(A)$ et sa dimension.

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_3(A)$ et sa dimension.

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ de valeur propre $\lambda = 3$ . Déterminer une base de $E_3(A) = \ker(A - 3I_2)$ .

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En déterminant ker⁡(f−λIdE)\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)ker(f−λIdE​) et une base du noyau

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