En déterminant $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ et une base du noyau

Décrire complètement $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ en exhibant une base, et en donner la dimension.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_1(A)$ et sa dimension.

L'objectif

Décrire complètement $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ en exhibant une base, et en donner la dimension.

Le principe

Par définition, $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ ; une base de ce noyau s'obtient en paramétrant l'ensemble des solutions du système homogène associé.

La méthode

1
Je forme la matrice $A - \lambda I_n$ et j'écris le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ associé.
2
Je résous ce système par le pivot de Gauss en isolant les inconnues principales en fonction des paramètres libres.
3
J'écris l'ensemble des solutions sous la forme $\{\alpha_1 V_1 + \dots + \alpha_k V_k,\ \alpha_i \in \mathbb{R}\}$ , où $(V_1, \dots, V_k)$ est la famille de vecteurs lus dans la paramétrisation.
4
Je vérifie que $(V_1, \dots, V_k)$ est libre (automatique par construction) et je conclus $E_\lambda(f) = \mathrm{Vect}(V_1, \dots, V_k)$ , $\dim E_\lambda(f) = k$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_1(A)$ et sa dimension.

Étape 1 —

Je forme la matrice

A - \lambda I_n

et j'écris le système linéaire homogène

(A - \lambda I_n) X = 0

associé.

On forme $A - I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et le système $\begin{cases} 2x + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}$ .

Étape 2 —

Je résous ce système par le pivot de Gauss en isolant les inconnues principales en fonction des paramètres libres.

Le système se réduit à $y = -2x$ , avec $x$ paramètre libre.

Étape 3 —

J'écris l'ensemble des solutions sous la forme

\{\alpha_1 V_1 + \dots + \alpha_k V_k,\ \alpha_i \in \mathbb{R}\}

, où

(V_1, \dots, V_k)

est la famille de vecteurs lus dans la paramétrisation.

Les solutions sont $\{(x, -2x),\ x \in \mathbb{R}\} = \{x \cdot (1, -2),\ x \in \mathbb{R}\}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

(V_1, \dots, V_k)

est libre (automatique par construction) et je conclus

E_\lambda(f) = \mathrm{Vect}(V_1, \dots, V_k)

\dim E_\lambda(f) = k

La famille $((1, -2))$ est libre (un seul vecteur non nul), donc $E_1(A) = \mathrm{Vect}((1, -2))$ et $\dim E_1(A) = 1$ .

$E_1(A) = \mathrm{Vect}((1,-2))$ , dimension $1$ .

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_0(A)$ et sa dimension.

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_2(A)$ et sa dimension.

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_3(A)$ et sa dimension.

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ de valeur propre $\lambda = 3$ . Déterminer une base de $E_3(A) = \ker(A - 3I_2)$ .

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En déterminant ker⁡(f−λIdE)\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)ker(f−λIdE​) et une base du noyau

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