Comment calculer le sous-espace… : En déterminant ker(f - lambda Id_E) et… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?

En déterminant $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ et une base du noyau

Décrire complètement $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ en exhibant une base, et en donner la dimension.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_1(A)$ et sa dimension.

L'objectif

Décrire complètement $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ en exhibant une base, et en donner la dimension.

Le principe

Par définition, $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ ; une base de ce noyau s'obtient en paramétrant l'ensemble des solutions du système homogène associé.

La méthode

1
Je forme la matrice $A - \lambda I_n$ et j'écris le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ associé.
2
Je résous ce système par le pivot de Gauss en isolant les inconnues principales en fonction des paramètres libres.
3
J'écris l'ensemble des solutions sous la forme $\{\alpha_1 V_1 + \dots + \alpha_k V_k,\ \alpha_i \in \mathbb{R}\}$ , où $(V_1, \dots, V_k)$ est la famille de vecteurs lus dans la paramétrisation.
4
Je vérifie que $(V_1, \dots, V_k)$ est libre (automatique par construction) et je conclus $E_\lambda(f) = \mathrm{Vect}(V_1, \dots, V_k)$ , $\dim E_\lambda(f) = k$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $E_1(A)$ et sa dimension.

Étape 1 —

Je forme la matrice

A - \lambda I_n

et j'écris le système linéaire homogène

(A - \lambda I_n) X = 0

associé.

On forme $A - I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et le système $\begin{cases} 2x + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}$ .

Étape 2 —

Je résous ce système par le pivot de Gauss en isolant les inconnues principales en fonction des paramètres libres.

Le système se réduit à $y = -2x$ , avec $x$ paramètre libre.

Étape 3 —

J'écris l'ensemble des solutions sous la forme

\{\alpha_1 V_1 + \dots + \alpha_k V_k,\ \alpha_i \in \mathbb{R}\}

, où

(V_1, \dots, V_k)

est la famille de vecteurs lus dans la paramétrisation.

Les solutions sont $\{(x, -2x),\ x \in \mathbb{R}\} = \{x \cdot (1, -2),\ x \in \mathbb{R}\}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

(V_1, \dots, V_k)

est libre (automatique par construction) et je conclus

E_\lambda(f) = \mathrm{Vect}(V_1, \dots, V_k)

\dim E_\lambda(f) = k

La famille $((1, -2))$ est libre (un seul vecteur non nul), donc $E_1(A) = \mathrm{Vect}((1, -2))$ et $\dim E_1(A) = 1$ .

$E_1(A) = \mathrm{Vect}((1,-2))$ , dimension $1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer le sous-espace propre Eλ(f)E_\lambda(f)Eλ​(f) et sa dimension ?

En déterminant ker⁡(f−λIdE)\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)ker(f−λIdE​) et une base du noyau

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?

En déterminant $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E)$ et une base du noyau