En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable

L'objectif

Retrouver la dimension d'un sous-espace propre lorsque $f$ est connu diagonalisable et que les autres dimensions sont calculées.

Le principe

Dans un espace de dimension finie, $f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette égalité permet de retrouver une dimension inconnue si l'on connaît les autres.

La méthode

1
Je vérifie soigneusement l'hypothèse de diagonalisabilité de $f$ (par exemple via un polynôme annulateur scindé à racines simples ou via un énoncé explicite).
2
J'énumère toutes les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ de $f$ et je calcule les dimensions connues $\dim E_{\lambda_i}(f)$ .
3
J'écris l'égalité $\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f) = \dim E$ et je la résous pour la dimension inconnue.
4
Je conclus en énonçant la valeur trouvée et, si possible, en confirmant par une méthode directe (système linéaire).

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, -1\}$ , et $\dim E_1(f) = 3$ . Déterminer $\dim E_{-1}(f)$ .

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_5(\mathbb{R})$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(A) = \{0, 2, 3\}$ , $\dim E_0(A) = 1$ et $\dim E_2(A) = 2$ . Calculer $\dim E_3(A)$ .

Application autonome 1

Soit $p \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ un projecteur (donc $p^2 = p$ ). Sachant que $\dim \ker p = k$ et que $p$ est diagonalisable, déterminer $\dim E_1(p)$ .

Application autonome 2

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ diagonalisable, avec $\dim E_1(f) = 2$ et $\dim E_2(f) = 1$ . Quelle est la dimension de $E_3(f)$ et peut-on avoir une autre valeur propre ?

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^4$ ayant pour valeurs propres $-1$ , $0$ , $3$ . Sachant que $\dim E_{-1}(f) = \dim E_0(f) = 1$ , déterminer $\dim E_3(f)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En utilisant ∑λdim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ​dimEλ​(f)=dimE dans le cas diagonalisable

Évalue la méthode

En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable