En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable

Retrouver la dimension d'un sous-espace propre lorsque $f$ est connu diagonalisable et que les autres dimensions sont calculées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, -1\}$ , et $\dim E_1(f) = 3$ . Déterminer $\dim E_{-1}(f)$ .

L'objectif

Retrouver la dimension d'un sous-espace propre lorsque $f$ est connu diagonalisable et que les autres dimensions sont calculées.

Le principe

Dans un espace de dimension finie, $f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette égalité permet de retrouver une dimension inconnue si l'on connaît les autres.

La méthode

1
Je vérifie soigneusement l'hypothèse de diagonalisabilité de $f$ (par exemple via un polynôme annulateur scindé à racines simples ou via un énoncé explicite).
2
J'énumère toutes les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ de $f$ et je calcule les dimensions connues $\dim E_{\lambda_i}(f)$ .
3
J'écris l'égalité $\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f) = \dim E$ et je la résous pour la dimension inconnue.
4
Je conclus en énonçant la valeur trouvée et, si possible, en confirmant par une méthode directe (système linéaire).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, -1\}$ , et $\dim E_1(f) = 3$ . Déterminer $\dim E_{-1}(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie soigneusement l'hypothèse de diagonalisabilité de

f

(par exemple via un polynôme annulateur scindé à racines simples ou via un énoncé explicite).

L'énoncé affirme que $f$ est diagonalisable, je peux donc utiliser $\dim E_1(f) + \dim E_{-1}(f) = \dim \mathbb{R}^4 = 4$ .

Étape 2 —

J'énumère toutes les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_p

f

et je calcule les dimensions connues

\dim E_{\lambda_i}(f)

La seule dimension inconnue est $\dim E_{-1}(f)$ , car $\dim E_1(f) = 3$ est donnée.

Étape 3 —

J'écris l'égalité

\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f) = \dim E

et je la résous pour la dimension inconnue.

L'équation $3 + \dim E_{-1}(f) = 4$ donne $\dim E_{-1}(f) = 1$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant la valeur trouvée et, si possible, en confirmant par une méthode directe (système linéaire).

Conclusion : $\dim E_{-1}(f) = 1$ .

$\dim E_{-1}(f) = 1$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_5(\mathbb{R})$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(A) = \{0, 2, 3\}$ , $\dim E_0(A) = 1$ et $\dim E_2(A) = 2$ . Calculer $\dim E_3(A)$ .

Application autonome 1

Soit $p \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ un projecteur (donc $p^2 = p$ ). Sachant que $\dim \ker p = k$ et que $p$ est diagonalisable, déterminer $\dim E_1(p)$ .

Application autonome 2

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ diagonalisable, avec $\dim E_1(f) = 2$ et $\dim E_2(f) = 1$ . Quelle est la dimension de $E_3(f)$ et peut-on avoir une autre valeur propre ?

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^4$ ayant pour valeurs propres $-1$ , $0$ , $3$ . Sachant que $\dim E_{-1}(f) = \dim E_0(f) = 1$ , déterminer $\dim E_3(f)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant ∑λdim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ​dimEλ​(f)=dimE dans le cas diagonalisable

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) = \dim E$ dans le cas diagonalisable