Comment montrer qu'un scalaire… : En utilisant un polynôme annulateur et… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

Restreindre les valeurs propres candidates aux racines d'un polynôme annulateur connu, puis vérifier lesquelles sont effectivement valeurs propres.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

L'objectif

Restreindre les valeurs propres candidates aux racines d'un polynôme annulateur connu, puis vérifier lesquelles sont effectivement valeurs propres.

Le principe

Si $Q \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $Q(f) = 0$ (i.e. $Q$ annule $f$ ), alors toute valeur propre $\lambda$ de $f$ est racine de $Q$ ; la réciproque n'est pas automatique, il faut tester.

La méthode

1
J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur $Q$ de $f$ ou de $A$ , typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.
2
Je calcule les racines réelles de $Q$ : ce sont les seules valeurs propres possibles de $f$ .
3
Pour montrer que $\lambda$ est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de $(A - \lambda I_n) X = 0$ ).
4
Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Étape 1 —

J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur

Q

f

ou de

A

, typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.

La relation $A^2 = A$ s'écrit $A^2 - A = 0$ , donc $Q(X) = X^2 - X$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Étape 2 —

Je calcule les racines réelles de

Q

: ce sont les seules valeurs propres possibles de

f

Les racines de $Q$ sont $X^2 - X = X(X-1)$ , soit $X = 0$ et $X = 1$ .

Étape 3 —

Pour montrer que

\lambda

est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de

(A - \lambda I_n) X = 0

Pour un projecteur non trivial, $0$ est valeur propre si $A \neq I_n$ (alors $\ker A \neq \{0\}$ ) et $1$ est valeur propre si $A \neq 0$ (alors $\mathrm{Im}\, A \neq \{0\}$ ).

Étape 4 —

Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

Donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ , avec égalité si $A \notin \{0, I_n\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ .

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Comment montrer qu'un scalaire λ\lambdaλ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?