Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En exhibant un vecteur non nul $x$ tel que $f(x) = \lambda x$

Établir directement que $\lambda$ est valeur propre de $f$ (ou de $A$ ) en fournissant un vecteur propre explicite.

L'objectif

Établir directement que $\lambda$ est valeur propre de $f$ (ou de $A$ ) en fournissant un vecteur propre explicite.

Le principe

Par définition, $\lambda$ est valeur propre de $f$ s'il existe un vecteur $x \neq 0_E$ tel que $f(x) = \lambda x$ ; il suffit donc d'en exhiber un seul.

La méthode

1
Je cherche un vecteur candidat $x \in E$ (ou $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ ) à partir des données de l'énoncé, d'une symétrie ou d'un calcul préliminaire.
2
Je vérifie explicitement que $x \neq 0_E$ : cette condition est indispensable, car le vecteur nul vérifie $f(0_E) = \lambda \cdot 0_E$ pour tout $\lambda$ .
3
Je calcule $f(x)$ (ou $AX$ ) et je contrôle l'égalité $f(x) = \lambda x$ (ou $AX = \lambda X$ ) composante par composante.
4
Je conclus que $x$ est vecteur propre de $f$ associé à $\lambda$ , donc $\lambda \in \mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $4$ est valeur propre de $A$ .

Étape 1 —

Je cherche un vecteur candidat

x \in E

(ou

X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})

) à partir des données de l'énoncé, d'une symétrie ou d'un calcul préliminaire.

Je propose le vecteur candidat $X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , inspiré par le fait que la somme des coefficients de chaque ligne vaut $4$ .

Étape 2 —

Je vérifie explicitement que

x \neq 0_E

: cette condition est indispensable, car le vecteur nul vérifie

f(0_E) = \lambda \cdot 0_E

pour tout

\lambda

Le vecteur $X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est clairement non nul.

Étape 3 —

Je calcule

f(x)

(ou

AX

) et je contrôle l'égalité

f(x) = \lambda x

(ou

AX = \lambda X

) composante par composante.

On calcule $AX = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 X$ .

Étape 4 —

Je conclus que

x

est vecteur propre de

f

associé à

\lambda

, donc

\lambda \in \mathrm{Sp}(f)

Donc $X$ est vecteur propre associé à $\lambda = 4$ , et $4 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

$4$ est valeur propre de $A$ (vecteur propre $(1,1)$ ).

Application guidée

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x + y, x + y)$ . Montrer que $0$ est valeur propre de $f$ .

Application autonome 1

Soit $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $3$ est valeur propre de $J$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $2$ est valeur propre de $A$ .

Application autonome 3

Soit $f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = X P'$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $f$ .

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En exhibant un vecteur non nul xxx tel que f(x)=λxf(x) = \lambda xf(x)=λx

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant un vecteur non nul $x$ tel que $f(x) = \lambda x$