Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En montrant que $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif

Démontrer que $\lambda \in \mathrm{Sp}(f)$ via la caractérisation par le noyau de $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ .

L'objectif

Démontrer que $\lambda \in \mathrm{Sp}(f)$ via la caractérisation par le noyau de $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ .

Le principe

$\lambda$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif, c'est-à-dire $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E) \neq \{0_E\}$ ; en dimension finie, cela équivaut à $\mathrm{rg}(f - \lambda \mathrm{Id}_E) < \dim E$ ou au fait que $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible.

La méthode

1
J'écris la matrice (ou l'endomorphisme) $A - \lambda I_n$ (ou $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ ).
2
Je prouve que $A - \lambda I_n$ est non inversible : soit en exhibant un vecteur non nul de son noyau, soit en montrant par échelonnement que son rang est strictement inférieur à $n$ .
3
Je justifie rigoureusement l'équivalence en dimension finie : $A - \lambda I_n$ non inversible $\Leftrightarrow \ker(A - \lambda I_n) \neq \{0\} \Leftrightarrow \lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ .
4
Je conclus : $\lambda$ est valeur propre de $A$ (ou de $f$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .

Étape 1 —

J'écris la matrice (ou l'endomorphisme)

A - \lambda I_n

(ou

f - \lambda \mathrm{Id}_E

On calcule $A - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je prouve que

A - \lambda I_n

est non inversible : soit en exhibant un vecteur non nul de son noyau, soit en montrant par échelonnement que son rang est strictement inférieur à

n

Les deux lignes sont égales, donc $\mathrm{rg}(A - I_2) = 1 < 2$ et $A - I_2$ n'est pas inversible.

Étape 3 —

Je justifie rigoureusement l'équivalence en dimension finie :

A - \lambda I_n

non inversible

\Leftrightarrow \ker(A - \lambda I_n) \neq \{0\} \Leftrightarrow \lambda \in \mathrm{Sp}(A)

En dimension finie, $A - I_2$ non inversible équivaut à $\ker(A - I_2) \neq \{0\}$ , donc à $1 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\lambda

est valeur propre de

A

(ou de

f

Ainsi $1$ est valeur propre de $A$ .

$1 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ . Montrer que $2$ est valeur propre de $A$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P - P'$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $f$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ . Montrer que $0$ est valeur propre de $A$ .

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .

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En montrant que f−λIdEf - \lambda \mathrm{Id}_Ef−λIdE​ n'est pas injectif

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En montrant que $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif