Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En montrant que $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .

La méthode

1
J'écris la matrice (ou l'endomorphisme) $A - \lambda I_n$ (ou $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ ).
2
Je prouve que $A - \lambda I_n$ est non inversible : soit en exhibant un vecteur non nul de son noyau, soit en montrant par échelonnement que son rang est strictement inférieur à $n$ .
3
Je justifie rigoureusement l'équivalence en dimension finie : $A - \lambda I_n$ non inversible $\Leftrightarrow \ker(A - \lambda I_n) \neq \{0\} \Leftrightarrow \lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ .
4
Je conclus : $\lambda$ est valeur propre de $A$ (ou de $f$ ).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .

1

On calcule $A - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

2

Les deux lignes sont égales, donc $\mathrm{rg}(A - I_2) = 1 < 2$ et $A - I_2$ n'est pas inversible.

3

En dimension finie, $A - I_2$ non inversible équivaut à $\ker(A - I_2) \neq \{0\}$ , donc à $1 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

4

Ainsi $1$ est valeur propre de $A$ .

$1 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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