Comment montrer qu'un… : En raisonnant par l'absurde à partir de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme n'est pas diagonalisable ?

En raisonnant par l'absurde à partir de l'hypothèse que $f$ est diagonalisable

Prouver la non-diagonalisabilité de $f$ en exhibant une contradiction.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulle et nilpotente ( $\exists p \geq 1$ , $N^p = 0$ ). Montrer que $N$ n'est pas diagonalisable.

L'objectif

Prouver la non-diagonalisabilité de $f$ en exhibant une contradiction.

Le principe

Si $f$ était diagonalisable, il existerait $P$ inversible et $D$ diagonale avec $A = P D P^{-1}$ ; diverses propriétés (nilpotence, équations polynomiales, rang) contraignent alors $D$ et, par suite, $f$ , jusqu'à une contradiction.

La méthode

1
Je suppose par l'absurde que $f$ (ou $A$ ) est diagonalisable : il existe une base $\mathcal{B}$ telle que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = D$ diagonale, ou $A = P D P^{-1}$ .
2
J'exploite la structure diagonale pour simplifier une propriété de $f$ (ex : $f^k = 0 \Rightarrow D^k = 0$ donc $D = 0$ ; ou $\mathrm{rg}(f) = r \Rightarrow D$ a exactement $r$ coefficients diagonaux non nuls).
3
Je confronte cette conséquence à une donnée concrète de l'énoncé (valeur connue d'une puissance, rang, image) pour obtenir une contradiction.
4
Je conclus : l'hypothèse est absurde, donc $f$ n'est pas diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulle et nilpotente ( $\exists p \geq 1$ , $N^p = 0$ ). Montrer que $N$ n'est pas diagonalisable.

Étape 1 —

Je suppose par l'absurde que

f

(ou

A

) est diagonalisable : il existe une base

\mathcal{B}

telle que

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = D

diagonale, ou

A = P D P^{-1}

Supposons par l'absurde $N$ diagonalisable : $N = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale.

Étape 2 —

J'exploite la structure diagonale pour simplifier une propriété de

f

(ex :

f^k = 0 \Rightarrow D^k = 0

donc

D = 0

; ou

\mathrm{rg}(f) = r \Rightarrow D

a exactement

r

coefficients diagonaux non nuls).

$N^p = 0$ donne $D^p = P^{-1} N^p P = 0$ ; chaque coefficient diagonal $d_i$ vérifie $d_i^p = 0$ donc $d_i = 0$ ; ainsi $D = 0$ et $N = P \cdot 0 \cdot P^{-1} = 0$ .

Étape 3 —

Je confronte cette conséquence à une donnée concrète de l'énoncé (valeur connue d'une puissance, rang, image) pour obtenir une contradiction.

Cela contredit l'hypothèse $N \neq 0$ .

Étape 4 —

Je conclus : l'hypothèse est absurde, donc

f

n'est pas diagonalisable.

Donc $N$ n'est pas diagonalisable.

Une matrice nilpotente non nulle n'est jamais diagonalisable.

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Comment montrer qu'un endomorphisme n'est pas diagonalisable ?

En raisonnant par l'absurde à partir de l'hypothèse que fff est diagonalisable

Pour comprendre, fais des exercices !

En raisonnant par l'absurde à partir de l'hypothèse que $f$ est diagonalisable