Comment montrer qu'un… : En exhibant un polynôme annulateur… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En exhibant un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$

Prouver la diagonalisabilité par un argument polynomial, sans calcul de sous-espaces propres.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A$ (projecteur matriciel). Montrer que $A$ est diagonalisable.

L'objectif

Prouver la diagonalisabilité par un argument polynomial, sans calcul de sous-espaces propres.

Le principe

Si $f$ admet un polynôme annulateur $Q$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , alors $f$ est diagonalisable (résultat admis au BO) ; les valeurs propres de $f$ sont alors à chercher parmi les racines de $Q$ .

La méthode

1
Je cherche ou j'exhibe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $Q(f) = 0$ (par hypothèse ou en calculant les premières puissances de $f$ ).
2
Je factorise $Q$ sur $\mathbb{R}$ pour vérifier qu'il est scindé, c'est-à-dire qu'il se décompose en produit de facteurs de degré $1$ .
3
Je vérifie que ses racines sont simples (distinctes deux à deux).
4
Je conclus : $f$ est annulé par un polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A$ (projecteur matriciel). Montrer que $A$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je cherche ou j'exhibe un polynôme

Q \in \mathbb{R}[X]

tel que

Q(f) = 0

(par hypothèse ou en calculant les premières puissances de

f

La relation $A^2 - A = 0$ fournit $Q(X) = X^2 - X$ annulateur de $A$ .

Étape 2 —

Je factorise

Q

sur

\mathbb{R}

pour vérifier qu'il est scindé, c'est-à-dire qu'il se décompose en produit de facteurs de degré

1

$Q(X) = X(X-1)$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que ses racines sont simples (distinctes deux à deux).

Ses racines $0$ et $1$ sont simples et distinctes.

Étape 4 —

Je conclus :

f

est annulé par un polynôme scindé à racines simples sur

\mathbb{R}

, donc

f

est diagonalisable.

$A$ est annulée par un polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

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Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En exhibant un polynôme annulateur scindé à racines simples sur R\mathbb{R}R

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$