Comment montrer qu'un… : En exhibant une base de E formée de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En exhibant une base de $E$ formée de vecteurs propres de $f$

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace $E$ de dimension finie est diagonalisable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est diagonalisable en exhibant une base de $\mathbb{R}^2$ formée de vecteurs propres.

L'objectif

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace $E$ de dimension finie est diagonalisable.

Le principe

Par définition, $f$ est diagonalisable si et seulement s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$ ; la matrice de $f$ dans cette base est alors diagonale.

La méthode

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Je détermine les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ de $f$ et, pour chacune, une base du sous-espace propre $E_{\lambda_i}(f)$ .
Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?Voir
2
Je concatène les bases obtenues en une famille $\mathcal{B}$ de vecteurs de $E$ .
3
Je justifie que $\mathcal{B}$ est libre (des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours indépendants) et contient $\dim E$ vecteurs.
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Je conclus : $\mathcal{B}$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres, donc $f$ est diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est diagonalisable en exhibant une base de $\mathbb{R}^2$ formée de vecteurs propres.

Étape 1 —

Je détermine les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_p

f

et, pour chacune, une base du sous-espace propre

E_{\lambda_i}(f)

On a $\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 3\}$ avec $E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ et $E_{-1}(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$ .

Étape 2 —

Je concatène les bases obtenues en une famille

\mathcal{B}

de vecteurs de

E

On pose $\mathcal{B} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$ .

Étape 3 —

Je justifie que

\mathcal{B}

est libre (des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours indépendants) et contient

\dim E

vecteurs.

Cette famille est libre (deux vecteurs non colinéaires) et contient $2 = \dim \mathbb{R}^2$ vecteurs.

Étape 4 —

Je conclus :

\mathcal{B}

est une base de

E

formée de vecteurs propres, donc

f

est diagonalisable.

$\mathcal{B}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ formée de vecteurs propres de $A$ , donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

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Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En exhibant une base de EEE formée de vecteurs propres de fff

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une base de $E$ formée de vecteurs propres de $f$