Comment montrer qu'un… : En constatant que f admet n = dim E… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En constatant que $f$ admet $n = \dim E$ valeurs propres deux à deux distinctes

Conclure à la diagonalisabilité sans avoir à déterminer les sous-espaces propres.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est diagonalisable.

L'objectif

Conclure à la diagonalisabilité sans avoir à déterminer les sous-espaces propres.

Le principe

Si $\dim E = n$ et si $f$ admet $n$ valeurs propres deux à deux distinctes, alors $f$ est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension $1$ (résultat du cours : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre).

La méthode

1
Je note $n = \dim E$ .
2
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(f)$ en résolvant la recherche de valeurs propres.
3
Je vérifie que $\mathrm{Sp}(f)$ contient exactement $n$ valeurs distinctes.
4
Je conclus : $f$ admet $n$ valeurs propres deux à deux distinctes dans un espace de dimension $n$ , donc $f$ est diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je note

n = \dim E

On a $\dim \mathbb{R}^2 = 2$ .

Étape 2 —

Je détermine le spectre

\mathrm{Sp}(f)

en résolvant la recherche de valeurs propres.

Le calcul $(1-\lambda)(2-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1)$ donne $\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 4\}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

\mathrm{Sp}(f)

contient exactement

n

valeurs distinctes.

$\mathrm{Sp}(A)$ contient $2$ valeurs propres distinctes.

Étape 4 —

Je conclus :

f

admet

n

valeurs propres deux à deux distinctes dans un espace de dimension

n

, donc

f

est diagonalisable.

$A$ admet $2 = \dim \mathbb{R}^2$ valeurs propres distinctes, donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

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Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En constatant que fff admet n=dim⁡En = \dim En=dimE valeurs propres deux à deux distinctes

Pour comprendre, fais des exercices !

En constatant que $f$ admet $n = \dim E$ valeurs propres deux à deux distinctes