Comment montrer qu'un… : En vérifiant sum_ lambda ∈ Sp(f) dim… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$

Établir la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice par un comptage de dimensions.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

L'objectif

Établir la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice par un comptage de dimensions.

Le principe

$f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette caractérisation évite d'expliciter une base.

La méthode

1
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ .
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je calcule $\dim E_{\lambda_i}(f) = \dim \ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}_E)$ par résolution du système linéaire associé.
3
Je somme les dimensions : $S = \sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f)$ .
4
Si $S = \dim E$ , je conclus que $f$ est diagonalisable ; sinon $f$ ne l'est pas (on a toujours $S \leq \dim E$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je détermine le spectre

\mathrm{Sp}(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}

Les valeurs propres sont solutions de $(3-\lambda)(-\lambda) + 2 = 0$ , soit $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ : $\mathrm{Sp}(A) = \{1, 2\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

\lambda_i

, je calcule

\dim E_{\lambda_i}(f) = \dim \ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}_E)

par résolution du système linéaire associé.

Pour $\lambda = 1$ : $(A - I_2)X = 0$ donne $E_1(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)$ , de dimension $1$ . Pour $\lambda = 2$ : $E_2(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ , de dimension $1$ .

Étape 3 —

Je somme les dimensions :

S = \sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f)

$S = 1 + 1 = 2$ .

Étape 4 —

S = \dim E

, je conclus que

f

est diagonalisable ; sinon

f

ne l'est pas (on a toujours

S \leq \dim E

$S = 2 = \dim \mathbb{R}^2$ , donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En vérifiant ∑λ∈Sp(f)dim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ∈Sp(f)​dimEλ​(f)=dimE

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$