Comment calculer les puissances… : En utilisant un polynôme annulateur… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

En utilisant un polynôme annulateur pour obtenir une relation de récurrence sur les puissances

Obtenir une forme explicite de $A^n$ via une relation de récurrence sur des coefficients.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A + 2 I_n$ . Exprimer $A^n$ sous la forme $a_n A + b_n I_n$ .

L'objectif

Obtenir une forme explicite de $A^n$ via une relation de récurrence sur des coefficients.

Le principe

Si $Q(X) = X^d - \sum_{k=0}^{d-1} c_k X^k$ annule $A$ , alors $A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k$ ; on cherche $A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k$ et les coefficients $a_k^{(n)}$ vérifient une récurrence linéaire.

La méthode

1
J'exhibe un polynôme annulateur $Q$ de $A$ , de degré $d$ , puis j'écris $A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k$ .
2
Je postule $A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k$ (combinaison linéaire des $A^k$ pour $k < d$ ).
3
Je multiplie par $A$ pour écrire la relation de récurrence entre les $a_k^{(n+1)}$ et les $a_k^{(n)}$ , et j'initialise avec $A^0, \dots, A^{d-1}$ .
4
Je résous cette récurrence (ou j'identifie les coefficients $a_k^{(n)}$ à partir des valeurs propres) pour obtenir $A^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = A + 2 I_n$ . Exprimer $A^n$ sous la forme $a_n A + b_n I_n$ .

Étape 1 —

J'exhibe un polynôme annulateur

Q

A

, de degré

d

, puis j'écris

A^d = \sum_{k=0}^{d-1} c_k A^k

$Q(X) = X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$ annule $A$ , d'où $A^2 = A + 2 I_n$ .

Étape 2 —

Je postule

A^n = \sum_{k=0}^{d-1} a_k^{(n)} A^k

(combinaison linéaire des

A^k

pour

k < d

On pose $A^n = a_n A + b_n I_n$ : c'est cohérent pour $n = 0$ ( $a_0 = 0, b_0 = 1$ ) et $n = 1$ ( $a_1 = 1, b_1 = 0$ ).

Étape 3 —

Je multiplie par

A

pour écrire la relation de récurrence entre les

a_k^{(n+1)}

et les

a_k^{(n)}

, et j'initialise avec

A^0, \dots, A^{d-1}

$A^{n+1} = A \cdot A^n = a_n A^2 + b_n A = a_n(A + 2I) + b_n A = (a_n + b_n) A + 2 a_n I$ , donc $a_{n+1} = a_n + b_n$ et $b_{n+1} = 2 a_n$ .

Étape 4 —

Je résous cette récurrence (ou j'identifie les coefficients

a_k^{(n)}

à partir des valeurs propres) pour obtenir

A^n

La diagonalisation des coefficients via les valeurs propres $2, -1$ donne $a_n = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3}$ et $b_n = \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3}$ , soit $A^n = \tfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \tfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

$A^n = \dfrac{2^n - (-1)^n}{3} A + \dfrac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_n$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer les puissances AnA^nAn d'une matrice diagonalisable ?

En utilisant un polynôme annulateur pour obtenir une relation de récurrence sur les puissances

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?