Comment montrer qu'un… : En vérifiant sum_ lambda ∈ Sp(f) dim… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$

Établir la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice par un comptage de dimensions.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

L'objectif

Établir la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice par un comptage de dimensions.

Le principe

$f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette caractérisation évite d'expliciter une base.

La méthode

1
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ .
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je calcule $\dim E_{\lambda_i}(f) = \dim \ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}_E)$ par résolution du système linéaire associé.
3
Je somme les dimensions : $S = \sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f)$ .
4
Si $S = \dim E$ , je conclus que $f$ est diagonalisable ; sinon $f$ ne l'est pas (on a toujours $S \leq \dim E$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je détermine le spectre

\mathrm{Sp}(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}

Les valeurs propres sont solutions de $(3-\lambda)(-\lambda) + 2 = 0$ , soit $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ : $\mathrm{Sp}(A) = \{1, 2\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

\lambda_i

, je calcule

\dim E_{\lambda_i}(f) = \dim \ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}_E)

par résolution du système linéaire associé.

Pour $\lambda = 1$ : $(A - I_2)X = 0$ donne $E_1(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)$ , de dimension $1$ . Pour $\lambda = 2$ : $E_2(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ , de dimension $1$ .

Étape 3 —

Je somme les dimensions :

S = \sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f)

$S = 1 + 1 = 2$ .

Étape 4 —

S = \dim E

, je conclus que

f

est diagonalisable ; sinon

f

ne l'est pas (on a toujours

S \leq \dim E

$S = 2 = \dim \mathbb{R}^2$ , donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

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Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

En vérifiant ∑λ∈Sp(f)dim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ∈Sp(f)​dimEλ​(f)=dimE

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$