Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ?

En propageant $f(x) = \lambda x$ à $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$

Déduire que $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(f)$ , associée au même vecteur propre, dès que $\lambda$ est valeur propre de $f$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f(x) = 3 x$ pour un certain $x \neq 0$ . En déduire une valeur propre de $f^2 - 2 f$ .

L'objectif

Déduire que $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(f)$ , associée au même vecteur propre, dès que $\lambda$ est valeur propre de $f$ .

Le principe

Théorème du cours : si $f(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$ , alors pour tout polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ , $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$ .

La méthode

1
Je pars d'un vecteur propre $x \neq 0$ de $f$ associé à $\lambda$ : $f(x) = \lambda x$ .
2
Par récurrence immédiate, j'obtiens $f^k(x) = \lambda^k x$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ , puis par linéarité $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$ .
3
Je conclus que $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(f)$ et $x$ est un vecteur propre associé.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f(x) = 3 x$ pour un certain $x \neq 0$ . En déduire une valeur propre de $f^2 - 2 f$ .

Étape 1 —

Je pars d'un vecteur propre

x \neq 0

de

f

associé à

\lambda

:

f(x) = \lambda x

.

On a $f(x) = 3 x$ avec $x \neq 0$ , donc $3$ est valeur propre de $f$ .

Étape 2 —

Par récurrence immédiate, j'obtiens

f^k(x) = \lambda^k x

pour tout

k \in \mathbb{N}

, puis par linéarité

Q(f)(x) = Q(\lambda) x

.

Je pose $Q(X) = X^2 - 2 X$ et j'applique la formule : $Q(f)(x) = Q(3) x = (9 - 6) x = 3 x$ .

Étape 3 —

Je conclus que

Q(\lambda)

est valeur propre de

Q(f)

et

x

est un vecteur propre associé.

Donc $3$ est valeur propre de $Q(f) = f^2 - 2 f$ , de vecteur propre $x$ .

$3 \in \mathrm{Sp}(f^2 - 2 f)$ .

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