Comment diagonaliser… : En vérifiant a posteriori que A P = P D — ECG2 approfondies | MetMat

Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$ ) ?

En vérifiant a posteriori que $A P = P D$

Valider l'égalité $D = P^{-1} A P$ sans avoir à inverser $P$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ diagonalisent $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Valider l'égalité $D = P^{-1} A P$ sans avoir à inverser $P$ .

Le principe

L'égalité $D = P^{-1} A P$ équivaut à $A P = P D$ ; cette forme s'obtient en remarquant que chaque colonne $C_i$ de $P$ doit vérifier $A C_i = d_i C_i$ où $d_i$ est le $i$ -ème coefficient diagonal de $D$ .

La méthode

1
Je note $P = (C_1 \mid \dots \mid C_n)$ où chaque $C_i$ est supposé vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $d_i$ .
2
Je calcule $A P$ en effectuant les produits colonne par colonne : la $i$ -ème colonne de $A P$ est $A C_i$ .
3
Je calcule $P D$ : la $i$ -ème colonne de $P D$ est $d_i C_i$ .
4
Je compare les colonnes : si $A C_i = d_i C_i$ pour tout $i$ , alors $A P = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ (sous réserve que $P$ soit inversible).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ diagonalisent $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je note

P = (C_1 \mid \dots \mid C_n)

où chaque

C_i

est supposé vecteur propre de

A

pour la valeur propre

d_i

$P$ a pour colonnes $C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (valeur propre prévue $3$ ) et $C_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (valeur propre prévue $-1$ ).

Étape 2 —

Je calcule

A P

en effectuant les produits colonne par colonne : la

i

-ème colonne de

A P

est

A C_i

$A C_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $A C_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , donc $AP = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

P D

: la

i

-ème colonne de

P D

est

d_i C_i

$P D = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je compare les colonnes : si

A C_i = d_i C_i

pour tout

i

, alors

A P = P D

, donc

D = P^{-1} A P

(sous réserve que

P

soit inversible).

$A P = P D$ et $\det P = -2 \neq 0$ , donc $D = P^{-1} A P$ .

Diagonalisation vérifiée.

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