Comment diagonaliser… : En calculant les valeurs propres puis… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$ ) ?

En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former $P$ et $D$

Déterminer explicitement une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = P^{-1} A P$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Déterminer explicitement une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = P^{-1} A P$ .

Le principe

La matrice $P$ dont les colonnes constituent une base de vecteurs propres de $\mathbb{R}^n$ vérifie $A P = P D$ , où $D$ est diagonale avec les valeurs propres correspondantes dans le même ordre que les colonnes de $P$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est diagonalisable (critère des dimensions, des valeurs propres distinctes ou polynôme annulateur scindé à racines simples).
2
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ et, pour chaque $\lambda_i$ , une base $(v_{i,1}, \dots, v_{i,m_i})$ de $E_{\lambda_i}(A)$ en résolvant $(A - \lambda_i I_n) X = 0$ .
3
Je concatène ces vecteurs en colonnes pour former $P$ , et je construis $D$ diagonale avec les valeurs propres $\lambda_i$ répétées $m_i$ fois dans le même ordre.
4
Je vérifie (facultatif mais sécurisant) que $A P = P D$ , ce qui équivaut à $D = P^{-1} A P$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est diagonalisable (critère des dimensions, des valeurs propres distinctes ou polynôme annulateur scindé à racines simples).

$A$ est symétrique réelle et admet deux valeurs propres distinctes, donc $A$ est diagonalisable.

Étape 2 —

Je détermine le spectre

\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}

et, pour chaque

\lambda_i

, une base

(v_{i,1}, \dots, v_{i,m_i})

E_{\lambda_i}(A)

en résolvant

(A - \lambda_i I_n) X = 0

$\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 3\}$ avec $E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ et $E_{-1}(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$ .

Étape 3 —

Je concatène ces vecteurs en colonnes pour former

P

, et je construis

D

diagonale avec les valeurs propres

\lambda_i

répétées

m_i

fois dans le même ordre.

On pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je vérifie (facultatif mais sécurisant) que

A P = P D

, ce qui équivaut à

D = P^{-1} A P

Vérification : $A P = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ .

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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