Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ?

$X$ et $Y$ sont à densité, indépendantes, et $f_X = f_Y = \mathbf{1}_{[0,1]}$ est bornée : les hypothèses sont vérifiées.

On écrit $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf{1}_{[0,1]}(t)\,\mathbf{1}_{[0,1]}(z-t)\,\mathrm{d}t$, avec $\mathrm{Supp}(f_X) = \mathrm{Supp}(f_Y) = [0,1]$.

Il faut $t \in [0,1]$ et $z - t \in [0,1]$, soit $\max(0, z-1) \leq t \leq \min(1, z)$. On obtient : $f_Z(z) = 0$ si $z \notin [0,2]$, $f_Z(z) = \int_0^z 1\,\mathrm{d}t = z$ si $0 \leq z \leq 1$, $f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1\,\mathrm{d}t = 2 - z$ si $1 \leq z \leq 2$.

On vérifie $\int_0^2 f_Z(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^1 z\,\mathrm{d}z + \int_1^2 (2-z)\,\mathrm{d}z = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$ : c'est bien une densité (loi triangulaire sur $[0,2]$).