Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ? | MetMat

Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ?

En appliquant la formule $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ après justification

Obtenir une densité de la variable $Z = X+Y$ à partir des densités $f_X$ et $f_Y$ de deux variables à densité indépendantes.

L'objectif

Obtenir une densité de la variable $Z = X+Y$ à partir des densités $f_X$ et $f_Y$ de deux variables à densité indépendantes.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à densité indépendantes de densités $f_X, f_Y$ , la fonction $h(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ , lorsqu'elle est définie et continue sauf en un nombre fini de points (cas en particulier si $f_X$ ou $f_Y$ est bornée), est une densité de $Z = X+Y$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ et $Y$ sont à densité et $X \perp\!\!\!\perp Y$ ; au moins l'une des deux densités est bornée (pour justifier l'existence du produit de convolution).
2
Je pose $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ et je précise les supports de $f_X$ et $f_Y$ .
3
Je réduis le domaine d'intégration : $t$ doit appartenir au support de $f_X$ ET $z-t$ au support de $f_Y$ ; j'écris les inégalités correspondantes et je distingue les cas selon la valeur de $z$ .
4
Je calcule l'intégrale obtenue sur le domaine effectif, puis je vérifie que $f_{X+Y}$ est bien une densité (positive, intégrale égale à $1$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $X, Y$ indépendantes de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

Y

sont à densité et

X \perp\!\!\!\perp Y

; au moins l'une des deux densités est bornée (pour justifier l'existence du produit de convolution).

$X$ et $Y$ sont à densité, indépendantes, et $f_X = f_Y = \mathbf{1}_{[0,1]}$ est bornée : les hypothèses sont vérifiées.

Étape 2 —

Je pose

f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t

et je précise les supports de

f_X

f_Y

On écrit $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf{1}_{[0,1]}(t)\,\mathbf{1}_{[0,1]}(z-t)\,\mathrm{d}t$ , avec $\mathrm{Supp}(f_X) = \mathrm{Supp}(f_Y) = [0,1]$ .

Étape 3 —

Je réduis le domaine d'intégration :

t

doit appartenir au support de

f_X

z-t

au support de

f_Y

; j'écris les inégalités correspondantes et je distingue les cas selon la valeur de

z

Il faut $t \in [0,1]$ et $z - t \in [0,1]$ , soit $\max(0, z-1) \leq t \leq \min(1, z)$ . On obtient : $f_Z(z) = 0$ si $z \notin [0,2]$ , $f_Z(z) = \int_0^z 1\,\mathrm{d}t = z$ si $0 \leq z \leq 1$ , $f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1\,\mathrm{d}t = 2 - z$ si $1 \leq z \leq 2$ .

Étape 4 —

Je calcule l'intégrale obtenue sur le domaine effectif, puis je vérifie que

f_{X+Y}

est bien une densité (positive, intégrale égale à

1

On vérifie $\int_0^2 f_Z(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^1 z\,\mathrm{d}z + \int_1^2 (2-z)\,\mathrm{d}z = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$ : c'est bien une densité (loi triangulaire sur $[0,2]$ ).

$f_Z(z) = z\,\mathbf{1}_{[0,1]}(z) + (2-z)\,\mathbf{1}_{[1,2]}(z)$ (loi triangulaire).

Application guidée

Soit $X, Y$ indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ et $Y \sim \mathcal{E}(1)$ indépendantes. Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Application autonome 2

Soit $X, Y$ indépendantes de même densité $f(t) = e^{-t}\,\mathbf{1}_{t > 0}$ (loi $\mathcal{E}(1)$ ). Retrouver la densité de $Z = X+Y$ en détaillant la réduction du domaine.

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ et $Y \sim \mathcal{U}([0, 2])$ indépendantes. Déterminer la densité de $Z = X + Y$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la formule fX+Y(z)=∫−∞+∞fX(t) fY(z−t) dtf_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}tfX+Y​(z)=∫−∞+∞​fX​(t)fY​(z−t)dt après justification

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ après justification