Comment définir et reconnaître un $n$-échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ? | MetMat

Comment définir et reconnaître un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ?

En identifiant l'échantillon-type associé à une loi usuelle

Identifier rapidement la loi sous-jacente et les paramètres inconnus dans les situations classiques d'échantillonnage des concours.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un sondage de taille $n$ , on demande à chaque individu s'il est satisfait du service public ; on note $X_i = 1$ si oui, $0$ sinon. Le tirage est fait avec remise, la proportion de satisfaits dans la population est notée $p$ . Identifier l'échantillon.

L'objectif

Identifier rapidement la loi sous-jacente et les paramètres inconnus dans les situations classiques d'échantillonnage des concours.

Le principe

À chaque expérience-type correspond une loi de référence : réponse binaire $\to \mathcal{B}(p)$ , mesure bruitée $\to \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ , durée d'attente $\to \mathcal{E}(\lambda)$ , comptage d'événements rares $\to \mathcal{P}(\lambda)$ ; la répétition à l'identique et l'indépendance fournissent alors un $n$ -échantillon.

La méthode

1
Je lis l'énoncé pour repérer la nature de l'expérience élémentaire (binaire, quantitative continue, durée, comptage).
2
J'associe la loi classique correspondante à la variable $X$ et j'identifie son ou ses paramètres inconnus $\theta$ .
3
Je justifie que l'expérience est répétée à l'identique ( $X_i$ de même loi que $X$ ) et de façon indépendante (tirages avec remise, mesures séparées).
4
Je conclus en nommant précisément l'échantillon : $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ , $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$ , $\mathcal{E}(\lambda)$ ou $\mathcal{P}(\lambda)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je lis l'énoncé pour repérer la nature de l'expérience élémentaire (binaire, quantitative continue, durée, comptage).

L'expérience élémentaire est une réponse binaire (oui/non) à un sondage.

Étape 2 —

J'associe la loi classique correspondante à la variable

X

et j'identifie son ou ses paramètres inconnus

\theta

La variable naturelle est $X \sim \mathcal{B}(p)$ avec paramètre inconnu $p \in [0, 1]$ .

Étape 3 —

Je justifie que l'expérience est répétée à l'identique (

X_i

de même loi que

X

) et de façon indépendante (tirages avec remise, mesures séparées).

Le tirage avec remise garantit l'indépendance, et chaque $X_i$ suit $\mathcal{B}(p)$ .

Étape 4 —

Je conclus en nommant précisément l'échantillon :

n

-échantillon de loi

\mathcal{B}(p)

\mathcal{N}(m, \sigma^2)

\mathcal{E}(\lambda)

\mathcal{P}(\lambda)

$(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon associé à $X \sim \mathcal{B}(p)$ .

$n$ -échantillon de $X \sim \mathcal{B}(p)$ .

Application guidée

On répète $n$ mesures indépendantes et identiques d'une grandeur physique $m$ avec un instrument dont l'erreur est gaussienne d'écart-type $\sigma$ connu. Identifier l'échantillon.

Application autonome 1

On note $X_i$ le temps d'attente du $i$ -ème client à un guichet, ces temps étant indépendants et exponentiels de paramètre $\lambda > 0$ inconnu. Identifier l'échantillon.

Application autonome 2

On suit le nombre de connexions par minute sur un serveur pendant $n$ minutes consécutives et indépendantes. Modéliser ces comptages par un $n$ -échantillon d'une loi usuelle.

Application autonome 3

On recueille la taille de $n$ adultes tirés indépendamment dans une population. Modéliser les mesures par un $n$ -échantillon d'une loi usuelle.

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