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Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau 1−α1-\alpha à l'aide du TLC ?

En identifiant (Tn−g(θ))/σn(θ)→LN(0,1)(T_n - g(\theta))/\sigma_n(\theta) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1) puis en inversant l'encadrement gaussien

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau 1−α1-\alpha à partir d'un estimateur TnT_n de g(θ)g(\theta) vérifiant les hypothèses du TLC.

Le principe

Si Tn=X‾nT_n = \overline{X}_n moyenne empirique d'un nn-échantillon i.i.d. d'espérance g(θ)g(\theta) et d'écart-type σ(θ)>0\sigma(\theta)>0, alors n Tn−g(θ)σ(θ)→LN(0,1)\sqrt{n}\,\dfrac{T_n - g(\theta)}{\sigma(\theta)} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1) par le TLC.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les hypothèses du TLC : (X1,…,Xn)(X_1,\dots,X_n) i.i.d. d'espérance g(θ)g(\theta) et d'écart-type σ(θ)>0\sigma(\theta)>0 finis, et Tn=X‾nT_n = \overline{X}_n.
  2. 2
    J'écris la conclusion du TLC : Zn=n Tn−g(θ)σ(θ)→LN(0,1)Z_n = \sqrt{n}\,\dfrac{T_n - g(\theta)}{\sigma(\theta)}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1), puis pour tout α∈(0,1)\alpha\in(0,1), P(∣Zn∣≤u1−α/2)⟶1−αP(|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2})\longrightarrow 1-\alpha.
  3. 3
    Je traduis l'encadrement ∣Zn∣≤u1−α/2|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2} en ∣Tn−g(θ)∣≤u1−α/2σ(θ)n|T_n - g(\theta)|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma(\theta)}{\sqrt{n}} et je remplace σ(θ)\sigma(\theta) par un majorant ou un estimateur convergent si besoin.
  4. 4
    Je conclus : [Tn−u1−α/2σnn,  Tn+u1−α/2σnn]\left[T_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}},\; T_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}}\right] est un intervalle de confiance asymptotique de g(θ)g(\theta) au niveau 1−α1-\alpha.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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