Comment montrer qu'une famille… : En citant directement le résultat du… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

En citant directement le résultat du cours

Conclure à la liberté d'une famille de vecteurs propres en appliquant un théorème direct du cours.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ et $x_1, x_2, x_3$ trois vecteurs non nuls avec $f(x_1) = x_1$ , $f(x_2) = 2 x_2$ , $f(x_3) = 5 x_3$ . Montrer que $(x_1, x_2, x_3)$ est libre.

L'objectif

Conclure à la liberté d'une famille de vecteurs propres en appliquant un théorème direct du cours.

Le principe

Théorème : si $(x_1, \dots, x_k)$ sont des vecteurs propres d'un endomorphisme $f$ associés à des valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ deux à deux distinctes, alors $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.

La méthode

1
Je vérifie que chaque $x_i$ est un vecteur propre de $f$ associé à une valeur propre $\lambda_i$ , avec $x_i \neq 0$ .
2
Je vérifie que les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ sont deux à deux distinctes.
3
J'applique le théorème du cours : la famille $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ et $x_1, x_2, x_3$ trois vecteurs non nuls avec $f(x_1) = x_1$ , $f(x_2) = 2 x_2$ , $f(x_3) = 5 x_3$ . Montrer que $(x_1, x_2, x_3)$ est libre.

Étape 1 —

Je vérifie que chaque

x_i

est un vecteur propre de

f

associé à une valeur propre

\lambda_i

, avec

x_i \neq 0

Chaque $x_i$ est un vecteur propre non nul de $f$ , associé à $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 5$ .

Étape 2 —

Je vérifie que les valeurs propres

\lambda_1, \dots, \lambda_k

sont deux à deux distinctes.

Les trois valeurs propres $1, 2, 5$ sont deux à deux distinctes.

Étape 3 —

J'applique le théorème du cours : la famille

(x_1, \dots, x_k)

est libre.

Par le théorème du cours, la famille $(x_1, x_2, x_3)$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

$(x_1, x_2, x_3)$ est libre.

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