Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ?

En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $F_{X_k}$ séparément puis en vérifiant la factorisation sur $\mathbb{R}^n$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $U,V\sim \mathcal{U}[0,1]$ avec FdR conjointe donnée par $F_{(U,V)}(u,v)=uv$ pour $(u,v)\in [0,1]^2$ (et prolongée de manière usuelle). Montrer que $U$ et $V$ sont indépendantes.

La méthode

1
Je calcule la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$ en utilisant la structure de l'expérience (souvent via un conditionnement ou une intégration).
2
Je calcule chaque FdR marginale $F_{X_k}(x_k)$ , soit par passage à la limite dans la FdR conjointe, soit directement à partir de la modélisation.
3
Je fixe $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ et je compare $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ et $\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)$ , en traitant le cas général et les zones limites (bords $-\infty$ , $+\infty$ ).
4
Si l'égalité est satisfaite partout sur $\mathbb{R}^n$ , je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon, un contre-exemple suffit à montrer la dépendance.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $U,V\sim \mathcal{U}[0,1]$ avec FdR conjointe donnée par $F_{(U,V)}(u,v)=uv$ pour $(u,v)\in [0,1]^2$ (et prolongée de manière usuelle). Montrer que $U$ et $V$ sont indépendantes.

1

Je calcule $F_{(U,V)}(u,v)=uv$ sur $[0,1]^2$ ; sur les autres zones, $F_{(U,V)}$ se déduit par les valeurs de bord ( $0$ si $u<0$ ou $v<0$ ; $F_U(u)$ si $v\geq 1$ ; etc.).

2

Par passage à la limite, $F_U(u)=\lim_{v\to +\infty} F_{(U,V)}(u,v)$ donne $F_U(u)=u$ sur $[0,1]$ ; de même $F_V(v)=v$ sur $[0,1]$ .

3

Pour $(u,v)\in [0,1]^2$ : $F_{(U,V)}(u,v)=uv=F_U(u)F_V(v)$ ; pour les autres zones, les deux membres coïncident car ils valent $0$ ou se ramènent à une seule variable.

4

L'égalité $F_{(U,V)}=F_U F_V$ vaut sur $\mathbb{R}^2$ , donc $U$ et $V$ sont indépendantes.

$U$ et $V$ sont indépendantes.

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Comment utiliser la caractérisation F(X1,…,Xn)=∏FXkF_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}F(X1​,…,Xn​)​=∏FXk​​ pour prouver l'indépendance ?

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ?

En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $F_{X_k}$ séparément puis en vérifiant la factorisation sur $\mathbb{R}^n$