Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ? | MetMat

Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ?

En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $F_{X_k}$ séparément puis en vérifiant la factorisation sur $\mathbb{R}^n$

Démontrer rigoureusement l'indépendance mutuelle de $(X_1,\dots,X_n)$ en séparant le calcul de la loi conjointe et des marginales.

L'objectif

Démontrer rigoureusement l'indépendance mutuelle de $(X_1,\dots,X_n)$ en séparant le calcul de la loi conjointe et des marginales.

Le principe

La caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}$ (admise au BO) s'applique en calculant chaque quantité séparément, puis en confrontant les deux expressions sur l'ensemble de $\mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
Je calcule la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$ en utilisant la structure de l'expérience (souvent via un conditionnement ou une intégration).
2
Je calcule chaque FdR marginale $F_{X_k}(x_k)$ , soit par passage à la limite dans la FdR conjointe, soit directement à partir de la modélisation.
3
Je fixe $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ et je compare $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ et $\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)$ , en traitant le cas général et les zones limites (bords $-\infty$ , $+\infty$ ).
4
Si l'égalité est satisfaite partout sur $\mathbb{R}^n$ , je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon, un contre-exemple suffit à montrer la dépendance.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $U,V\sim \mathcal{U}[0,1]$ avec FdR conjointe donnée par $F_{(U,V)}(u,v)=uv$ pour $(u,v)\in [0,1]^2$ (et prolongée de manière usuelle). Montrer que $U$ et $V$ sont indépendantes.

Étape 1 —

Je calcule la FdR conjointe

F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)

en utilisant la structure de l'expérience (souvent via un conditionnement ou une intégration).

Je calcule $F_{(U,V)}(u,v)=uv$ sur $[0,1]^2$ ; sur les autres zones, $F_{(U,V)}$ se déduit par les valeurs de bord ( $0$ si $u<0$ ou $v<0$ ; $F_U(u)$ si $v\geq 1$ ; etc.).

Étape 2 —

Je calcule chaque FdR marginale

F_{X_k}(x_k)

, soit par passage à la limite dans la FdR conjointe, soit directement à partir de la modélisation.

Par passage à la limite, $F_U(u)=\lim_{v\to +\infty} F_{(U,V)}(u,v)$ donne $F_U(u)=u$ sur $[0,1]$ ; de même $F_V(v)=v$ sur $[0,1]$ .

Étape 3 —

Je fixe

(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n

et je compare

F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)

\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)

, en traitant le cas général et les zones limites (bords

-\infty

+\infty

Pour $(u,v)\in [0,1]^2$ : $F_{(U,V)}(u,v)=uv=F_U(u)F_V(v)$ ; pour les autres zones, les deux membres coïncident car ils valent $0$ ou se ramènent à une seule variable.

Étape 4 —

Si l'égalité est satisfaite partout sur

\mathbb{R}^n

, je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon, un contre-exemple suffit à montrer la dépendance.

L'égalité $F_{(U,V)}=F_U F_V$ vaut sur $\mathbb{R}^2$ , donc $U$ et $V$ sont indépendantes.

$U$ et $V$ sont indépendantes.

Application guidée

Soient $(X,Y)$ deux variables aléatoires de FdR conjointe $F_{(X,Y)}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)+xy(1-F_X(x))(1-F_Y(y))$ sur $[0,1]^2$ , avec $F_X,F_Y$ non triviales. Le couple est-il indépendant ?

Application autonome 1

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires définies par $X_k=f_k(U_k)$ où $U_1,\dots,U_n\sim \mathcal{U}[0,1]$ sont indépendantes et $f_k$ sont des fonctions boréliennes. Montrer que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes.

Application autonome 2

Soient $X, Y$ deux variables réelles de FdR conjointe $F_{(X, Y)}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ . Montrer qu'elles sont indépendantes.

Application autonome 3

Soient $X, Y \sim \mathcal{E}(1)$ i.i.d. Vérifier par calcul explicite la factorisation $F_{(X, Y)}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ .

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En calculant F(X1,…,Xn)F_{(X_1,\dots,X_n)}F(X1​,…,Xn​)​ et les FXkF_{X_k}FXk​​ séparément puis en vérifiant la factorisation sur Rn\mathbb{R}^nRn

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $F_{X_k}$ séparément puis en vérifiant la factorisation sur $\mathbb{R}^n$