Comment montrer que deux… : En vérifiant l'orthogonalité sur une… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?

En vérifiant l'orthogonalité sur une base de chaque sous-espace

Prouver qu'un sous-espace $F$ est orthogonal à un sous-espace $G$ d'un espace euclidien $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0), (0, 0, 1))$ sont orthogonaux.

L'objectif

Prouver qu'un sous-espace $F$ est orthogonal à un sous-espace $G$ d'un espace euclidien $E$ .

Le principe

Si $(u_1, \ldots, u_p)$ est une base de $F$ et $(v_1, \ldots, v_q)$ une base de $G$ , alors par bilinéarité du produit scalaire, $F \perp G$ si et seulement si $\forall (i, j), \langle u_i, v_j \rangle = 0$ .

La méthode

1
Je détermine une base $(u_1, \ldots, u_p)$ de $F$ et une base $(v_1, \ldots, v_q)$ de $G$ .
2
Je calcule $\langle u_i, v_j \rangle$ pour tous les couples $(i, j) \in \{1, \ldots, p\} \times \{1, \ldots, q\}$ .
3
Je vérifie que tous ces produits scalaires sont nuls.
4
Par bilinéarité, tout $x \in F$ et tout $y \in G$ s'écrivent comme combinaisons linéaires des $u_i$ et $v_j$ , donc $\langle x, y \rangle = 0$ et je conclus que $F \perp G$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0), (0, 0, 1))$ sont orthogonaux.

Étape 1 —

Je détermine une base

(u_1, \ldots, u_p)

F

et une base

(v_1, \ldots, v_q)

G

Base de $F$ : $u_1 = (1, 1, 0)$ . Base de $G$ : $v_1 = (1, -1, 0)$ , $v_2 = (0, 0, 1)$ .

Étape 2 —

Je calcule

\langle u_i, v_j \rangle

pour tous les couples

(i, j) \in \{1, \ldots, p\} \times \{1, \ldots, q\}

$\langle u_1, v_1 \rangle = 1 - 1 + 0 = 0$ et $\langle u_1, v_2 \rangle = 0 + 0 + 0 = 0$ .

Étape 3 —

Je vérifie que tous ces produits scalaires sont nuls.

Tous les produits scalaires $\langle u_i, v_j \rangle$ sont nuls.

Étape 4 —

Par bilinéarité, tout

x \in F

et tout

y \in G

s'écrivent comme combinaisons linéaires des

u_i

v_j

, donc

\langle x, y \rangle = 0

et je conclus que

F \perp G

Par bilinéarité, pour tout $x \in F$ et $y \in G$ , $\langle x, y \rangle = 0$ . Donc $F \perp G$ .

$F \perp G$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.